Fiche de révision : Conversions et codage informatique

📋 Plan du Cours

1. Numération de position et bases
2. Conversions décimales vers le binaire
3. Conversions décimales vers l’hexadécimal
4. Conversions entre binaire et hexadécimal
5. Bits et capacité de codage
6. Adresses IPv4 et masques réseau
7. Codage hexadécimal des couleurs RVB

📖 1. Numération de position et bases

🔑 Notions clés & Définitions

• Numération de position : La valeur d’un chiffre dépend de son rang, et chaque rang a pour poids une puissance de la base.
• Écriture en base b : En base b, où b est un entier supérieur ou égal à 2, on utilise les chiffres de 0 à b − 1 et le chiffre de rang k a pour poids b^k.

★ À maîtriser

• En base 2, les seuls chiffres sont 0 et 1, chaque chiffre binaire s’appelle un bit et les poids sont les puissances de 2.

• En base 16, les chiffres sont 0 à 9 puis A, B, C, D, E et F, qui représentent respectivement 10, 11, 12, 13, 14 et 15.

📌 L’écriture 101 désigne 101 en base 10, 5 en base 2 et 257 en base 16 ; la base doit donc être précisée.

Compléments

📐 Formule - La valeur d’un nombre écrit en base b est la somme des chiffres multipliés par leurs poids : $(a_n\ldots a_0)_b = \sum_{k=0}^{n} a_k b^k$.

• En base 10, les rangs se comptent de droite à gauche à partir de 0 et leurs poids successifs sont 1, 10, 100 et 1 000.

• Dans 2 507, le chiffre 5 vaut 500 parce qu’il occupe le rang de poids 100, et le zéro conserve le rang des dizaines.

• Un circuit électronique peut représenter les bits 0 et 1 par deux états, le courant ne passant pas ou passant.

📌 Le bit le plus à gauche est le bit de poids fort, tandis que le bit le plus à droite est le bit de poids faible et a un poids de 1.

📌 Un nombre binaire est pair si son bit de poids faible vaut 0 et impair s’il vaut 1.

• En base 16, les poids successifs sont 1, 16, 256 et 4 096.

💡 Astuce mémo

Le rang donne le poids ; la base fixe les chiffres autorisés.

📖 2. Conversions décimales vers le binaire

★ À maîtriser

• Pour convertir un entier décimal en binaire par divisions successives, on le divise par 2, on recommence avec chaque quotient jusqu’à obtenir 0, puis on lit les restes de bas en haut.

• Pour convertir un entier décimal en binaire avec les puissances de 2, on choisit à chaque étape la plus grande puissance inférieure ou égale au reste, on soustrait cette puissance et on inscrit 1 ; les puissances non utilisées reçoivent 0.

• 255 est le plus grand entier représentable avec 8 bits, car son écriture binaire est 1111 1111 ; 256 s’écrit 1 0000 0000 et nécessite 9 bits.

Compléments

• Les deux méthodes de conversion donnent 45 = (10 1101)₂, soit 32 + 8 + 4 + 1.

📌 Lors d’une conversion par divisions successives, il faut lire les restes de bas en haut et conserver le dernier reste.

💡 Astuce mémo

Diviser, garder les restes, les lire de bas en haut.

📖 3. Conversions décimales vers l’hexadécimal

📝 Points essentiels

• La conversion de 300 en hexadécimal donne (12C)₁₆, car les restes successifs sont 12, 2 et 1, lus de bas en haut et avec 12 remplacé par C.

💡 Astuce mémo

Diviser par 16, traduire les restes, les lire de bas en haut.

📖 4. Conversions entre binaire et hexadécimal

★ À maîtriser

• Comme 16 = 2^4, un chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits, appelés un quartet.

• Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, on le découpe en paquets de 4 bits depuis la droite, on complète le paquet de gauche avec des zéros si nécessaire, puis on remplace chaque paquet par son chiffre hexadécimal.

• Pour convertir un nombre hexadécimal en binaire, on remplace chaque chiffre hexadécimal par ses 4 bits, en conservant les zéros initiaux de chaque quartet.

Compléments

• Dans la correspondance hexadécimale, les valeurs décimales de 10 à 15 sont représentées par A, B, C, D, E et F, respectivement.

• La conversion de 181 donne (1011 0101)₂, puis les quartets 1011 et 0101 donnent (B5)₁₆.

💡 Astuce mémo

Imagine des paquets de quatre bits qui se changent chacun en un chiffre hexadécimal.

📖 5. Bits et capacité de codage

🔑 Notions clés & Définitions

• Bit : La plus petite unité d’information qui prend la valeur 0 ou 1.
• Quartet : Un groupe de 4 bits correspondant à un chiffre hexadécimal.
• Octet : Un groupe de 8 bits correspondant à 2 chiffres hexadécimaux.

★ À maîtriser

• Avec n bits, le nombre de combinaisons différentes est $2^n$ et les entiers codables vont de 0 à $2^n-1$.

📐 Formule - Pour coder N valeurs, le nombre minimal de bits n vérifie $2^n \geq N$.

Compléments

• Pour numéroter 1 000 badges, 9 bits ne suffisent pas car 2⁹ = 512, tandis que 10 bits suffisent car 2¹⁰ = 1 024.

📌 Un kilooctet (ko) vaut 1 000 octets, tandis qu’un kibioctet (Kio) vaut 1 024 octets.

💡 Astuce mémo

Ajouter un bit double les possibilités.

📖 6. Adresses IPv4 et masques réseau

🔑 Notions clés & Définitions

• Adresse IPv4 : Identifie une machine sur un réseau et est codée sur 32 bits, soit 4 octets, écrits en notation décimale pointée sous la forme de 4 nombres de 0 à 255 séparés par des points.
• Masque de sous-réseau : Accompagne l’adresse IP et se représente en binaire par une suite de 1 suivie d’une suite de 0.

★ À maîtriser

📌 La notation CIDR indique après une barre oblique le nombre de bits à 1 du masque de sous-réseau.

Compléments

📌 Chaque octet d’une adresse IPv4 s’écrit sur exactement 8 bits, en complétant à gauche avec des zéros si nécessaire.

📌 Une adresse IPv4 n’est pas valide si l’un de ses nombres dépasse 255, car un octet ne peut pas dépasser 255.

• Le masque 255.255.255.0 contient 24 bits à 1 et s’écrit /24 en notation CIDR.

📖 7. Codage hexadécimal des couleurs RVB

🔑 Notions clés & Définitions

• Couleur RVB : Un mélange de Rouge, Vert et Bleu, chaque composante étant codée sur un octet, de 0 (éteinte) à 255 (à fond).
• Code hexadécimal RVB : En HTML/CSS, il s’écrit #RRVVBB, avec 2 chiffres hexadécimaux pour chacune des composantes Rouge, Vert et Bleu.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les 3 composantes RVB représentent $3 \times 8 = 24$ bits et permettent de coder $2^{24} = 16\ 777\ 216$ couleurs différentes.

• Dans le code #RRVVBB, les deux premiers chiffres codent le rouge, les deux suivants le vert et les deux derniers le bleu.

• Lorsque les composantes rouge, verte et bleue sont égales, la couleur obtenue est un gris.