Fiche de révision : Corps des nombres réels

📋 Plan du Cours

1. Construction des nombres réels
2. Axiomes du corps réel
3. Valeur absolue et distance
4. Partie entière et Archimède
5. Parties bornées et extrema
6. Bornes supérieure et inférieure
7. Intervalles et voisinages
8. Complétion et densité rationnelle

📖 1. Construction des nombres réels

📝 Points essentiels

📌 La construction progressive des nombres donne N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R : N ne résout pas toujours a + x = b, Z ne résout pas toujours a · x = b avec a ≠ 0, et √2 n’appartient pas à Q.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R : chaque extension résout une nouvelle impossibilité

📖 2. Axiomes du corps réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps des nombres réels : Ensemble muni de deux lois + et · ainsi que d’une relation d’ordre ≤, satisfaisant les axiomes du corps commutatif, de l’ordre total et de la borne supérieure.

📝 Points essentiels

📌 La relation d’ordre réel est totale et compatible avec l’addition et la multiplication : x ≤ y implique x + z ≤ y + z, et 0 ≤ x ainsi que 0 ≤ y impliquent 0 ≤ x·y.

📌 Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure.

📖 3. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel x est définie par $|x|=x$ si x ≥ 0 et $|x|=-x$ si x < 0, et représente sa distance à 0.

📝 Points essentiels

📌 La quantité |x − y| représente la distance entre les réels x et y, tandis que |x| représente la distance entre x et 0.

📐 Formule - La valeur absolue vérifie $|x+y|\leq |x|+|y|$, ce qui constitue l’inégalité triangulaire.

💡 Astuce mémo

Sur la droite réelle, |x| est la distance entre x et 0

📖 4. Partie entière et Archimède

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : Le plus grand entier inférieur ou égal à x et vérifiant $[x]\leq x<[x]+1$.

📝 Points essentiels

📌 L’axiome d’Archimède affirme que pour tout x réel il existe n ∈ N tel que n > x, et que pour tous x,y > 0 il existe n ∈ N* tel que nx > y.

📖 5. Parties bornées et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie majorée : Une partie non vide A de R est majorée s’il existe M ∈ R tel que tout x ∈ A vérifie x ≤ M.
• Partie bornée : Une partie A de R est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.
• Maximum : Un maximum α de A est un majorant de A qui appartient à A, et lorsqu’il existe il est unique.

💡 Astuce mémo

Majorant peut être extérieur ; maximum est un majorant appartenant à l’ensemble

📖 6. Bornes supérieure et inférieure

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure : Le plus petit des majorants de A.
• Borne inférieure : Le plus grand des minorants de A.

📝 Points essentiels

📌 On a sup A = M si tout x ∈ A vérifie x ≤ M et si, pour tout ε > 0, il existe xε ∈ A tel que M − ε < xε.

💡 Astuce mémo

supremum = plus petit majorant ; maximum = supremum atteint

📖 7. Intervalles et voisinages

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Une partie I de R est un intervalle si et seulement si, pour tous x1,x2 ∈ I tels que x1 ≤ x2, on a [x1,x2] ⊂ I.
• Voisinage : Un voisinage de x0 est un intervalle ouvert Vx0 = ]x0 − ε,x0 + ε[ avec ε > 0.

📝 Points essentiels

• Les intervalles réels peuvent être ouverts, fermés, semi-ouverts ou non bornés, notamment ]a,b[, [a,b], [a,b[, ]a,b], ]a,+∞[, [a,+∞[, ]−∞,b[ et ]−∞,b].

💡 Astuce mémo

Un voisinage est une fenêtre ouverte centrée en x₀

📖 8. Complétion et densité rationnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite réelle achevée : La droite réelle achevée est l’ensemble R̄ = R ∪ {−∞,+∞}, muni de l’ordre −∞ < x < +∞ pour tout x ∈ R.
• Densité de Q : Les rationnels sont denses dans R : pour tous a,b ∈ R tels que a < b, il existe r ∈ Q tel que a < r < b.

💡 Astuce mémo

R ajoute −∞ et +∞ ; Q place toujours un rationnel entre deux réels

📊 Tableaux de synthèse

Extrema et bornes