Fiche de révision : Corrélation et régression linéaire

📋 Plan du Cours

1. Association entre variables quantitatives
2. Covariance et dépendance
3. Coefficient de corrélation
4. Droite de régression
5. Test d’indépendance linéaire
6. Application numérique

📖 1. Association entre variables quantitatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Série statistique double : Regroupe les N couples de valeurs (xi, yi) observés sur N individus lorsque X et Y sont deux caractères quantitatifs et qu’au moins une des deux variables est aléatoire.

★ À maîtriser

📌 La corrélation étudie l’existence et l’intensité d’un lien entre deux variables, tandis que la régression sert à prédire Y en fonction de X.

• Le nuage de points, ou diagramme de dispersion, fournit une information qualitative sur l’existence éventuelle d’une liaison entre deux caractères, tandis que la corrélation fournit une information quantitative.

Compléments

📌 L’association entre deux variables qualitatives relève du test du Khi² d’indépendance, celle entre une variable quantitative et une variable qualitative relève de la comparaison des moyennes, et celle entre deux variables quantitatives observées chez les mêmes individus relève de la corrélation et de la régression.

💡 Astuce mémo

Corrélation : y a-t-il un lien ? Régression : si X, alors Y.

📖 2. Covariance et dépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Covariance : Quantifie la dépendance entre deux variables quantitatives, mais elle dépend de l’unité de mesure des deux variables.

★ À maîtriser

📌 Si X et Y sont indépendantes, alors $\operatorname{var}(X\pm Y)=\operatorname{var}(X)+\operatorname{var}(Y)$ et $\operatorname{cov}(X,Y)=0$, mais la réciproque n’est pas toujours vraie.

Compléments

📐 Formule — Lorsque X = Y, la covariance vérifie $\operatorname{cov}(X,X)=\operatorname{var}(X)$.

📐 Formule — La variance d’une somme vérifie $\operatorname{var}(X+Y)=\operatorname{var}(X)+\operatorname{var}(Y)+2\operatorname{cov}(X,Y)$.

💡 Astuce mémo

Unités des variables → covariance dépendante des unités → coefficient sans unité.

📖 3. Coefficient de corrélation

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de corrélation : Indique la force et le sens de l’association linéaire entre X et Y et ne possède pas d’unité.

★ À maîtriser

📌 Le coefficient de corrélation est compris entre −1 et 1, soit $-1\le r\le 1$ et $-1\le \rho\le 1$.

📌 Une corrélation r = −1 est négative parfaite, r = 0 indique l’absence de corrélation linéaire et r = 1 est positive parfaite.

Compléments

📌 Lorsque r² est proche de 1, la relation linéaire entre X et Y est forte.

💡 Astuce mémo

Sens, intensité, bornes : négatif, nul ou positif entre −1 et 1.

📖 4. Droite de régression

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite de régression : La droite de régression suppose une relation linéaire de la forme $Y=aX+b$, où a est la pente et b l’ordonnée à l’origine.

★ À maîtriser

📌 Le coefficient de corrélation r et la pente a sont proportionnels : s’il n’existe pas de relation linéaire, alors r = 0 et a = 0, et la droite de régression est horizontale.

• La méthode des moindres carrés détermine la droite de régression en minimisant l’écart entre les points observés et la droite $Y=aX+b$.

Compléments

📌 La droite de régression est valable seulement entre les deux extrémités des points observés et ne démontre pas une causalité entre X et Y.

💡 Astuce mémo

Pente a, ordonnée b, puis prédiction de Y à partir de X.

📖 5. Test d’indépendance linéaire

★ À maîtriser

📌 Le seuil de signification utilisé est généralement α = 5 %.

📌 Si t observé appartient à la région critique, H0 est rejetée avec un risque de première espèce inférieur ou égal à α et la corrélation linéaire est significative ; sinon, H0 ne peut pas être rejetée au seuil α et l’indépendance linéaire est retenue.

• Le test d’indépendance linéaire évalue l’hypothèse nulle H0 selon laquelle X et Y sont linéairement indépendantes, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de corrélation linéaire et que ρ ou r = 0.

📌 Pour N ≥ 30, le paramètre du test suit la loi normale centrée réduite ; pour N < 30, il suit la loi de Student à n − 2 degrés de liberté lorsque les conditions sont respectées, sinon un test non paramétrique est utilisé.

📌 Une corrélation linéaire significative indique une tendance de variation de Y avec X, mais ne signifie ni que la corrélation est parfaite ni que tous les points sont alignés.

Compléments

📌 La région critique bilatérale est $]-\infty;-t_\alpha]\cup[+t_\alpha;+\infty[$, avec tα lu dans la table de la loi normale pour N ≥ 30 ou dans celle de Student à n − 2 degrés de liberté pour N < 30 sous conditions.

💡 Astuce mémo

H₀ → seuil α → loi → région critique → décision.

📖 6. Application numérique

★ À maîtriser

• Chez 22 étudiants, si Sx = 2, Sy = 4 et Sxy = 4, la pente vaut $a=\frac{S_{xy}}{S_x^2}=\frac{4}{2^2}=1$.

• Avec une moyenne de X égale à 6, une moyenne de Y égale à 18 et une pente a = 1, l’ordonnée à l’origine vaut b = 18 − 1 × 6 = 12 et la droite est $Y=X+12$.

• Dans cet exemple, le coefficient de corrélation vaut $r=\frac{S_{xy}}{S_xS_y}=\frac{4}{2\times4}=0{,}5$.

Compléments

• Pour 22 étudiants, le nombre d’heures passées en soirée varie de 2 à 10 heures et le risque de première espèce choisi est α = 5 %.

📊 Tableaux de synthèse

Corrélation et régression