QCM : Corrélation et régression linéaire — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Chez 22 étudiants, avec Sx=2S_x=2, Sy=4S_y=4 et Sxy=4S_{xy}=4, quelle est la pente de la droite de régression ?

a=0,5a=0,5
a=1a=1
a=4a=4
a=2a=2

$$a=1$$

Explication

La pente se calcule par a=SxySx2=422=1a=\frac{S_{xy}}{S_x^2}=\frac{4}{2^2}=1. La valeur 0,50,5 correspond au coefficient de corrélation calculé dans cet exemple, et non à la pente.

2. Quelle forme prend une droite de régression reliant une variable explicative X à une variable Y ?

Y=aX+bY=aX+b, où a est la pente et b l’ordonnée à l’origine
Y=a+bY=a+b, sans terme dépendant de X
Y=bX+aY=bX+a, où b est la pente et a l’ordonnée à l’origine
X=aY+bX=aY+b, où a est la pente et b l’ordonnée à l’origine

$$Y=aX+b$$, où a est la pente et b l’ordonnée à l’origine

Explication

La droite de régression s’écrit Y=aX+bY=aX+b : a mesure la variation de Y selon X, tandis que b représente l’ordonnée à l’origine. L’expression Y=bX+aY=bX+a inverse les rôles de la pente et de l’ordonnée à l’origine.

3. Quelle distinction caractérise le mieux la corrélation et la régression entre deux variables quantitatives ?

La corrélation démontre une causalité, tandis que la régression décrit graphiquement les observations.
La corrélation compare deux moyennes, tandis que la régression teste l’indépendance de variables qualitatives.
La corrélation prédit une variable, tandis que la régression mesure uniquement la force d’une association.
La corrélation décrit une association, tandis que la régression sert à prédire une variable à partir de l’autre.

La corrélation décrit une association, tandis que la régression sert à prédire une variable à partir de l’autre.

Explication

La corrélation mesure l’existence et l’intensité d’une association, alors que la régression est utilisée pour prédire une variable en fonction d’une autre. Ni la corrélation ni la régression ne suffit toutefois à établir une causalité.

4. Quelle loi est utilisée pour le paramètre du test lorsque l’échantillon contient moins de 30 observations, sous réserve que les conditions soient respectées ?

La loi uniforme sur l’intervalle des observations
La loi de Student à n−2n-2 degrés de liberté
La loi normale centrée réduite sans ajustement
La loi du khi-deux à n−1n-1 degrés de liberté

La loi de Student à $$n-2$$ degrés de liberté

Explication

Pour N<30N<30, le paramètre du test suit une loi de Student à n−2n-2 degrés de liberté lorsque les conditions nécessaires sont satisfaites. La loi normale centrée réduite est plutôt utilisée lorsque N≥30N\ge30.

5. Si deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes, quelle conclusion est nécessairement valide concernant leur covariance ?

cov⁡(X,Y)=0\operatorname{cov}(X,Y)=0, mais une covariance nulle ne garantit pas toujours l’indépendance.
cov⁡(X,Y)\operatorname{cov}(X,Y) dépend uniquement des unités, sans relation avec l’indépendance.
cov⁡(X,Y)=1\operatorname{cov}(X,Y)=1, car l’indépendance correspond à une association positive maximale.
cov⁡(X,Y)=−1\operatorname{cov}(X,Y)=-1, car l’absence de dépendance produit une association négative maximale.

$$\operatorname{cov}(X,Y)=0$$, mais une covariance nulle ne garantit pas toujours l’indépendance.

Explication

L’indépendance implique une covariance nulle et conduit aussi à var⁡(X±Y)=var⁡(X)+var⁡(Y)\operatorname{var}(X\pm Y)=\operatorname{var}(X)+\operatorname{var}(Y). En revanche, la covariance nulle ne permet pas toujours de conclure à l’indépendance.

6. Quel principe permet de déterminer la droite de régression à partir de points observés ?

Choisir une droite passant par les deux points extrêmes
Rendre les valeurs de X et de Y identiques pour chaque observation
Minimiser les écarts entre les points observés et la droite
Maximiser la distance entre les points observés et la droite

Minimiser les écarts entre les points observés et la droite

Explication

La méthode des moindres carrés choisit la droite qui minimise l’écart entre les observations et les valeurs prédites par la droite. Elle ne consiste pas à maximiser ces écarts ni à imposer le passage par les deux points extrêmes.

7. Quelle valeur est généralement retenue comme seuil de signification pour ce test ?

α=10%\alpha=10\%
α=1%\alpha=1\%
α=50%\alpha=50\%
α=5%\alpha=5\%

$$\alpha=5\%$$

Explication

Le seuil de signification généralement utilisé est α=5%\alpha=5\%. Il représente le niveau choisi pour décider du rejet de l’hypothèse nulle, tandis que le risque de première espèce désigne le risque associé à ce rejet.

8. Avec Sxy=4S_{xy}=4, Sx=2S_x=2 et Sy=4S_y=4, quelle est la valeur du coefficient de corrélation ?

r=2r=2
r=4r=4
r=0,5r=0,5
r=1r=1

$$r=0,5$$

Explication

Le coefficient de corrélation vaut r=SxySxSy=42×4=0,5r=\frac{S_{xy}}{S_xS_y}=\frac{4}{2\times4}=0,5. La valeur 1 serait incompatible avec ce calcul et correspondrait à une corrélation linéaire parfaite.

9. Que mesure le coefficient de corrélation rr entre deux variables quantitatives ?

La dépendance générale entre elles, exprimée dans le produit de leurs deux unités.
La force et le sens de leur association linéaire, au moyen d’une valeur sans unité.
La probabilité qu’une variation de l’une provoque nécessairement une variation de l’autre.
La différence entre leurs moyennes, exprimée dans l’unité de la variable expliquée.

La force et le sens de leur association linéaire, au moyen d’une valeur sans unité.

Explication

Le coefficient rr résume à la fois l’intensité et le sens d’une association linéaire, et il est sans unité. Il ne mesure ni une différence de moyennes ni une relation causale.

10. Quel outil fournit d’abord une information qualitative sur l’existence éventuelle d’une liaison entre deux variables quantitatives ?

La comparaison des moyennes, qui mesure l’alignement des couples de valeurs.
Le nuage de points, qui permet de visualiser la forme générale des observations.
Le coefficient de corrélation, qui résume numériquement l’intensité du lien observé.
Le test du Khi², qui évalue l’indépendance de deux variables quantitatives.

Le nuage de points, qui permet de visualiser la forme générale des observations.

Explication

Le nuage de points donne une première information visuelle et qualitative sur une éventuelle liaison. Le coefficient de corrélation apporte ensuite une information quantitative, tandis que le Khi² concerne deux variables qualitatives.

11. Si Xˉ=6\bar X=6, Yˉ=18\bar Y=18 et a=1a=1, quelle équation représente la droite de régression ?

Y=X+12Y=X+12
Y=6X+12Y=6X+12
Y=X+18Y=X+18
Y=12X+6Y=12X+6

$$Y=X+12$$

Explication

L’ordonnée à l’origine vaut b=Yˉ−aXˉ=18−1×6=12b=\bar Y-a\bar X=18-1\times6=12, donc la droite est Y=X+12Y=X+12. La pente reste a=1a=1 et ne doit pas être confondue avec l’ordonnée à l’origine.

12. Un échantillon fournit une valeur de t observée située dans la région critique bilatérale au seuil α\alpha. Quelle conclusion convient-il de tirer ?

Ne pas rejeter H0 et conclure à une indépendance linéaire démontrée
Rejeter H0 et conclure que la corrélation est parfaite
Rejeter H0 et conclure à une corrélation linéaire significative
Ne pas rejeter H0 et conclure que tous les points sont alignés

Rejeter H0 et conclure à une corrélation linéaire significative

Explication

Une valeur de t dans la région critique conduit au rejet de H0 au seuil choisi et indique une corrélation linéaire significative. Cette conclusion ne signifie pas que la corrélation est parfaite ou que chaque observation est alignée sur une droite.

13. Que signifie une valeur du coefficient de corrélation égale à r=0r=0 ?

Elle indique une relation linéaire positive parfaite entre les deux variables.
Elle indique une dépendance causale nulle entre les deux variables.
Elle indique l’absence de corrélation linéaire entre les deux variables.
Elle indique une relation linéaire négative parfaite entre les deux variables.

Elle indique l’absence de corrélation linéaire entre les deux variables.

Explication

La valeur r=0r=0 signifie qu’aucune corrélation linéaire n’est détectée, tandis que r=−1r=-1 et r=1r=1 correspondent aux deux corrélations linéaires parfaites. Cette valeur ne permet pas à elle seule d’affirmer l’absence de toute dépendance ou de causalité.

14. Quelle hypothèse nulle est évaluée par le test d’indépendance linéaire ?

X et Y sont parfaitement corrélées et ρ=1\rho=1
X et Y sont linéairement indépendantes et ρ=0\rho=0
X et Y ont nécessairement la même moyenne et ρ=0\rho=0
X et Y sont linéairement dépendantes et ρ≠0\rho\ne0

X et Y sont linéairement indépendantes et $$\rho=0$$

Explication

L’hypothèse nulle affirme l’absence de corrélation linéaire entre X et Y, ce qui s’écrit ρ=0\rho=0 ou, dans l’échantillon, r=0r=0. L’hypothèse d’une dépendance linéaire appartient à l’hypothèse alternative.

15. Quelle propriété de la covariance distingue cette mesure du coefficient de corrélation ?

La covariance s’applique aux variables qualitatives, tandis que le coefficient de corrélation s’applique aux variables quantitatives.
La covariance décrit une causalité, tandis que le coefficient de corrélation décrit une association linéaire.
La covariance dépend des unités de mesure, tandis que le coefficient de corrélation est sans unité.
La covariance est toujours comprise entre −1 et 1, tandis que le coefficient de corrélation dépend des unités.

La covariance dépend des unités de mesure, tandis que le coefficient de corrélation est sans unité.

Explication

La valeur de la covariance varie avec les unités utilisées pour mesurer les deux variables. Le coefficient de corrélation, lui, ne possède pas d’unité, ce qui facilite la comparaison entre situations.

16. Que devient la droite de régression lorsqu’il n’existe aucune relation linéaire entre X et Y ?

Elle est horizontale, avec r=0r=0 et a=0a=0
Elle est verticale, avec r=1r=1 et a=1a=1
Elle est croissante, avec r=−1r=-1 et a<0a<0
Elle est confondue avec la première bissectrice, avec r=0r=0 et a=1a=1

Elle est horizontale, avec $$r=0$$ et $$a=0$$

Explication

En l’absence de relation linéaire, le coefficient de corrélation et la pente sont nuls, ce qui produit une droite horizontale. Une corrélation égale à 1 ou à −1 correspondrait au contraire à une relation linéaire parfaite.

17. Laquelle de ces valeurs peut représenter un coefficient de corrélation valide ?

1,251{,}25, car une corrélation forte peut dépasser la borne supérieure.
−2-2, car une association négative peut prendre toute valeur réelle.
3,53{,}5, car le coefficient dépend de l’échelle de mesure choisie.
−0,75-0{,}75, car un coefficient de corrélation appartient à l’intervalle [−1,1][-1,1].

$$-0{,}75$$, car un coefficient de corrélation appartient à l’intervalle $$[-1,1]$$.

Explication

Un coefficient de corrélation est nécessairement compris entre −1-1 et 11, donc −0,75-0{,}75 est une valeur possible. Les valeurs dépassant ces bornes ne peuvent pas représenter une corrélation.

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Mémorisez les réponses avec 12 flashcards sur Corrélation et régression linéaire.

Association variables quantitatives — définition ?

Relation entre deux variables numériques.

Nuage de points — rôle ?

Visualiser la liaison entre deux variables.

Covariance — formule ?

E2;cov(X,Y) = E2;\frac{1}{N} E2;\frac{\text{sum} \big( (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) \big)}{N}.

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