Fiche de révision : Corrélations et analyse de variance

📋 Plan du Cours

1. Calcul et arrondi des corrélations
2. Plans expérimentaux en ANOVA
3. Variabilité et sommes des carrés
4. Degrés de liberté et critère F
5. Étapes de décision en ANOVA
6. Applications expérimentales de l’ANOVA

📖 1. Calcul et arrondi des corrélations

★ À maîtriser

• Le calcul présenté donne successivement r = 0,99998 puis r = 1,00 après arrondi.

Compléments

• Dans l’exercice de corrélation, les sommes indiquées sont Σxy = 793,63, Σx = 10,76, Σy = 440, Σx² = 19,332 et Σy² = 32850.

• Dans l’exercice, les carrés des sommes sont (Σx)² = 115,78 et (Σy)² = 193600.

• Le coefficient r est sensible aux arrondis, particulièrement dans l’exemple présenté, et le nombre de chiffres à conserver doit être précisé pour l’examen.

📖 2. Plans expérimentaux en ANOVA

🔑 Notions clés & Définitions

• ANOVA : Test paramétrique fondé sur la variance qui détermine si les moyennes de Y diffèrent selon les niveaux de X.

★ À maîtriser

• L’ANOVA distingue des sources de variance et sert ici à comparer trois groupes ou plus.

📌 Dans un plan S<A>, le sujet est emboîté dans A et n’apparaît que dans un niveau de A, qui est un facteur inter-sujets.

📌 Dans un plan S*A, le sujet est croisé avec A et chaque sujet est observé à tous les niveaux de A, qui est un facteur intra-sujets.

Compléments

• Les plans expérimentaux présentés sont :

  • S<A>
  • S*A
  • S<A*B>
  • S<A>*B
  • SAB

• Dans l’exemple de mémorisation, la variable dépendante est le nombre de mots correctement rappelés après un apprentissage de 20 paires de mots et un test réalisé 24 heures plus tard.

💡 Astuce mémo

Sujet emboîté : un seul niveau ; sujet croisé : tous les niveaux.

📖 3. Variabilité et sommes des carrés

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des carrés totale se décompose en somme des carrés dans les groupes et somme des carrés entre les groupes : $SC_{total}=SC_{dans}+SC_{entre}$.

📐 Formule - La somme des carrés dans les groupes est $SC_{dans}=\sum (Y_{a,s}-M_a)^2$, où chaque score est comparé à la moyenne de son groupe.

📐 Formule - La somme des carrés entre les groupes est $SC_{entre}=\sum_a S_a(M_a-M_{..})^2$, où chaque moyenne de groupe est comparée à la moyenne générale.

📌 La variabilité entre groupes correspond à l’effet de la variable indépendante auquel s’ajoute l’erreur expérimentale.

• La variabilité dans les groupes correspond aux différences entre sujets d’un même groupe et est attribuée à l’erreur expérimentale, sans effet de la variable indépendante.

Compléments

• La décomposition de l’écart d’un score à la moyenne générale distingue l’écart du score à sa moyenne de groupe et l’écart de cette moyenne de groupe à la moyenne générale.

💡 Astuce mémo

La variabilité totale se décompose en variabilité entre groupes et variabilité dans les groupes.

📖 4. Degrés de liberté et critère F

★ À maîtriser

📐 Formule - Le critère F est le rapport du carré moyen entre groupes au carré moyen dans les groupes : $F=\frac{CM_{entre}}{CM_{dans}}=\frac{SC_{entre}/ddl_{entre}}{SC_{dans}/ddl_{dans}}$.

📐 Formule - Un carré moyen correspond à une somme des carrés divisée par ses degrés de liberté : $CM=\frac{SC}{ddl}$.

📐 Formule - Pour A groupes et N observations, les degrés de liberté sont $ddl_{entre}=A-1$, $ddl_{dans}=N-A$ et $ddl_{total}=N-1=ddl_{entre}+ddl_{dans}$.

Compléments

📐 Formule - Lorsque chaque groupe contient S sujets, les degrés de liberté dans les groupes s’écrivent aussi $ddl_{dans}=A(S-1)$.

• Dans l’exemple à deux groupes de 15 sujets, les degrés de liberté sont ddl entre = 1, ddl dans = 28 et ddl total = 29.

• Pour des effectifs de groupe déséquilibrés, la somme des carrés entre groupes utilise l’effectif propre à chaque groupe : $SC_{entre}=\sum_a S_a(M_a-M_{..})^2$.

📖 5. Étapes de décision en ANOVA

★ À maîtriser

📌 Si F calculé est supérieur à F critique, H0 est rejetée et H1 est retenue au risque α.

• La démarche de décision en ANOVA consiste à poser les hypothèses, calculer F, lire la valeur critique puis prendre une décision.

📌 L’hypothèse nulle H0 affirme que la variable indépendante n’a pas d’effet sur la variable dépendante, tandis que H1 affirme qu’elle en a un.

Compléments

📌 La valeur critique de F dépend des degrés de liberté entre groupes, notés v1, et dans les groupes, notés v2, ainsi que du seuil α.

• Dans l’exemple à deux groupes, F(1,28) = 111,11 et la valeur critique à α = 0,05 est 4,196, ce qui conduit à rejeter H0.

💡 Astuce mémo

Hypothèses → F calculé → F critique → décision.

📖 6. Applications expérimentales de l’ANOVA

★ À maîtriser

• Dans l’expérience d’apprentissage, les moyennes de rappel sont 4 pour le groupe sans imagerie et 10 pour le groupe avec imagerie, et le résultat présenté est F(1,28) = 111,11; p < .05.

Compléments

• L’étude attribuée à Brandfort et al. (1972) compare la rétention d’idées après écoute d’un texte dans quatre conditions de contexte, avec 20 sujets répartis en quatre groupes de cinq.

• Les conditions expérimentales sont :

  • écoute sans contexte
  • contexte pendant l’écoute
  • contexte après l’écoute
  • contexte partiel pendant l’écoute

• Dans cette étude, les variables dépendantes demandées sont une note de compréhension de 0 à 7 et le nombre d’idées rappelées parmi les 14 présentes dans le texte.

• Pour l’exercice sur le sommeil, la variable indépendante est le nombre d’heures de sommeil avec les niveaux 0 h, 4 h et 8 h, et la variable dépendante est le temps de réaction en millisecondes.