Fiche de révision : Suites numériques et modèles

📋 Plan du Cours

1. Notation et représentation des suites
2. Définition explicite et récurrence
3. Suites arithmétiques
4. Suites géométriques
5. Reconnaître les suites usuelles
6. Modéliser des évolutions
7. Récurrences et comportements particuliers
8. Seuils, algorithmes et comparaisons

📖 1. Notation et représentation des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique associe à chaque rang entier de son domaine un nombre, appelé terme de ce rang.

★ À maîtriser

📌 Dans une suite commençant au rang 0, le premier terme est de rang 0, tandis que le troisième terme est de rang 2.

Compléments

• Les termes d’une suite peuvent être représentés par les points de coordonnées $(n,u_n)$ dans un repère.

💡 Astuce mémo

Le rang désigne la place ; le terme désigne la valeur.

📖 2. Définition explicite et récurrence

★ À maîtriser

📌 Une définition explicite calcule un terme à partir de son rang, tandis qu’une définition par récurrence calcule un terme à partir d’un ou plusieurs termes précédents.

• Pour calculer les termes d’une suite récurrente, on part de la valeur initiale puis on applique successivement la relation de récurrence.

Compléments

• Pour $u_n=4n+3$, les termes de rang 0, 1 et 5 valent respectivement 3, 7 et 23.

• Si $u_0=100$ et $u_{n+1}=0{,}5u_n+2$, alors $u_1=52$ et $u_2=28$.

💡 Astuce mémo

Explicite : le rang donne le terme ; récurrente : un terme mène au suivant.

📖 3. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite dont chaque terme s’obtient en ajoutant une constante appelée raison au terme précédent.

★ À maîtriser

• Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1}=u_n+r$, où $r$ est sa raison.

• Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$, le terme général est $u_n=u_0+nr$.

Compléments

• Si deux termes d’une suite arithmétique sont connus, sa raison se calcule par $r=\frac{u_q-u_p}{q-p}$ pour $p\ne q$.

• Une suite arithmétique de raison positive est croissante, une suite de raison négative est décroissante, et une suite de raison nulle est constante.

💡 Astuce mémo

Une suite arithmétique avance à pas constant sur une droite.

📖 4. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite dont chaque terme s’obtient en multipliant le terme précédent par une constante appelée raison.

★ À maîtriser

• Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}=q u_n$, où $q$ est sa raison.

• Pour une suite géométrique de premier terme $u_0$, le terme général est $u_n=u_0q^n$.

Compléments

• Si $u_0=10$ et $q=3$, alors les trois termes suivants sont $u_1=30$, $u_2=90$ et $u_3=270$.

• Une évolution de taux annuel $t$ correspond à un coefficient multiplicateur $q=1+t$ pour une hausse, et $q=1-t$ pour une baisse.

💡 Astuce mémo

Une suite géométrique multiplie chaque terme par le même facteur.

📖 5. Reconnaître les suites usuelles

★ À maîtriser

📌 Une suite est arithmétique lorsque les différences entre termes consécutifs sont constantes, et géométrique lorsque les quotients de termes consécutifs sont constants.

Compléments

• La liste $1; 5; 9; 13; 17$ est constituée de termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 4.

• La liste $1; \frac13; \frac19$ est constituée de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison $\frac13$.

• Une liste finie de termes ne permet pas toujours d’identifier de façon certaine la règle qui définit la suite.

💡 Astuce mémo

Écart constant pour l’arithmétique ; quotient constant pour la géométrique.

📖 6. Modéliser des évolutions

★ À maîtriser

• Un capital initial de 1 000 € qui augmente de 2,5 % par an est modélisé par une suite géométrique de premier terme 1 000 et de raison 1,025.

Compléments

• Une masse salariale initiale de 8 000 milliers d’euros diminuant de 10 % chaque année est modélisée par une suite géométrique de raison 0,90.

• Une quantité d’énergie initiale de 3 000 kWh qui baisse de 5 % par an suit la relation $u_{n+1}=0{,}95u_n$.

• Un abonnement initial de 250 € augmentant de 30 € par an est modélisé par une suite arithmétique de raison 30.

• Un abonnement initial de 200 € augmentant de 10 % par an est modélisé par une suite géométrique de raison 1,10.

💡 Astuce mémo

Ajouter une quantité fixe relève de l’arithmétique ; appliquer un pourcentage relève de la géométrique.

📖 7. Récurrences et comportements particuliers

📝 Points essentiels

• La suite de Fibonacci définie par $u_1=1$, $u_2=3$ et $u_{n+2}=u_n+u_{n+1}$ commence par $1{,}3{,}4{,}7{,}11{,}18$.

• Si le nombre de bactéries est divisé par 4 chaque heure, leur nombre suit une suite géométrique de raison $\frac14$, de terme initial $10^{10}$.

• Si 90 grains tombent chaque seconde d’un sablier qui en contient initialement 2 000, le nombre de grains en partie haute suit une suite arithmétique de raison $-90$.

📌 Une suite définie par une relation telle que $u_{n+1}=1{,}1u_n-4$ n’est pas géométrique, car le terme suivant n’est pas un multiple constant du terme courant.

📖 8. Seuils, algorithmes et comparaisons

★ À maîtriser

📌 Pour les abonnements de 2026, l’offre 1 augmente de 30 € par an et l’offre 2 de 10 % par an ; d’après les valeurs du tableau, l’offre 2 dépasse l’offre 1 en 2038.

Compléments

• Un algorithme de seuil répète une mise à jour de suite et incrémente le rang jusqu’à ce que la condition de seuil soit satisfaite.

• Dans le modèle des connexions $u_0=50$ et $u_{n+1}=1{,}1u_n-4$, l’algorithme indique que le seuil de 70 est atteint au rang 12.

• Dans le modèle de baisse annuelle de 5 % partant de 3 000 kWh en 2025, la production passe sous 1 000 kWh en 2047, au rang 22.

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques et géométriques