Fiche de révision : Dénombrement et combinatoire

📋 Plan du Cours

1. Ensembles finis et cardinal
2. Principes additif et multiplicatif
3. K-uplets et arrangements
4. Permutations et factorielle
5. Parties d’un ensemble
6. Combinaisons et propriétés

📖 1. Ensembles finis et cardinal

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble fini : Collection d’objets distincts contenant un nombre fini d’éléments.
• Cardinal : Nombre de ses éléments, noté Card(E).

★ À maîtriser

📌 Dans un ensemble, l’ordre des éléments ne compte pas et un élément ne peut pas être répété, ainsi {a ; b} = {b ; a} et {c ; c} = {c}.

Compléments

• L’ensemble vide ne contient aucun élément et vérifie Card(∅) = 0.

💡 Astuce mémo

Ensemble : ordre et répétition ne comptent pas ; liste : ordre et répétition peuvent compter.

📖 2. Principes additif et multiplicatif

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : Ensemble des couples (x ; y) tels que x appartient à E et y appartient à F.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour deux ensembles finis non vides, $\operatorname{Card}(E\times F)=\operatorname{Card}(E)\times\operatorname{Card}(F)$.

📌 Si deux ensembles finis sont disjoints, alors $\operatorname{Card}(E\cup F)=\operatorname{Card}(E)+\operatorname{Card}(F)$.

💡 Astuce mémo

Choix exclusifs → addition ; choix successifs → multiplication.

📖 3. K-uplets et arrangements

🔑 Notions clés & Définitions

• K-uplet : Liste ordonnée de k éléments de E, qui peuvent être distincts ou confondus.

📝 Points essentiels

• Si E possède n éléments, le nombre de k-uplets d’éléments de E est $n^k$.

• Le nombre de k-uplets d’éléments distincts d’un ensemble à n éléments est $n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)$.

💡 Astuce mémo

Avec remise : répétition possible ; sans remise : éléments distincts.

📖 4. Permutations et factorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Permutation : N-uplet d’éléments distincts de cet ensemble.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est $n! = n(n-1)(n-2)\cdots 2\times1$.

Compléments

• Par convention, $0!=1$.

💡 Astuce mémo

Permuter n éléments : n, puis n−1, jusqu’à 1.

📖 5. Parties d’un ensemble

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie d’un ensemble : Ensemble dont tous les éléments appartiennent à E, ce qui se note A ⊂ E.

★ À maîtriser

📐 Formule — Un ensemble fini à n éléments possède $2^n$ parties, donc $\operatorname{Card}(\mathcal P(E))=2^n$.

📌 Une partie de E ne tient pas compte de l’ordre de ses éléments, tandis qu’un k-uplet tient compte de l’ordre.

Compléments

• À chaque partie d’un ensemble à n éléments correspond un n-uplet de {0 ; 1}, où chaque position indique l’absence ou la présence de l’élément associé.

💡 Astuce mémo

Chaque élément choisit une porte : dans la partie ou hors de la partie.

📖 6. Combinaisons et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison : Partie de E contenant exactement k éléments.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le nombre de combinaisons de k éléments parmi n est $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

📌 Une combinaison correspond à un tirage simultané, tandis qu’un arrangement correspond à un tirage successif sans remise.

Compléments

📐 Formule — Les coefficients binomiaux vérifient la symétrie $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.

📐 Formule — La relation de Pascal est $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ pour 1 ≤ k ≤ n−1.

• La somme des coefficients binomiaux d’un même rang n vaut $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n$.

💡 Astuce mémo

Arrangement : ordre important ; combinaison : ordre indifférent.

📊 Tableaux de synthèse

Types de dénombrement