QCM : Dénombrement et combinatoire — 10 questions

Question 1

1. Quelle expression décrit correctement le cardinal d’un ensemble fini $E$ ?

L’ordre dans lequel les éléments de

E

sont écrits

La collection d’objets distincts formant

E

Le nombre d’éléments que contient

E

La liste des éléments qui composent

E

Explication

Le cardinal mesure combien d’éléments appartiennent à l’ensemble et se note $\operatorname{Card}(E)$ . La collection elle-même désigne l’ensemble, tandis que l’ordre d’écriture ne définit pas son cardinal.

Answer

Le nombre d’éléments que contient $$E$$

Question 2

2. Quelle est la définition d’un ensemble fini en mathématiques?

Un ensemble dont les éléments peuvent se répéter.

Un ensemble dont l’ordre des éléments est important.

Un ensemble contenant un nombre fini d’objets distincts.

Un ensemble contenant un nombre infini d’objets.

Explication

Un ensemble fini est une collection d’objets distincts contenant un nombre fini d’éléments. La réponse qui mentionne la finitude et la distinction des objets est correcte, contrairement à celle qui parle d’un nombre infini ou de répétition.

Answer

Un ensemble contenant un nombre fini d’objets distincts.

Question 3

3. Quelle égalité traduit la propriété fondamentale des éléments d’un ensemble ?

\{a\,;\,b\}=\{b\,;\,a\}

\{a\,;\,a\}=\{a\,;\,b\}

\{a\,;\,b\}=\{a\,;\,a\,;\,b\}

\{a\,;\,b\}\neq\{b\,;\,a\}

Explication

Dans un ensemble, l’ordre ne compte pas et la répétition d’un élément ne crée pas un nouvel élément. Ainsi, les deux écritures contenant $a$ et $b$ désignent le même ensemble, contrairement à l’égalité avec un ensemble contenant $b$ à la place d’une répétition.

Answer

$$\{a\,;\,b\}=\{b\,;\,a\}$$

Question 4

4. Quelle est la propriété principale d’un ensemble fini en termes de ses éléments?

L’ordre des éléments est crucial.

Il peut contenir des éléments répétés.

Il ne peut pas être vide.

Il contient un nombre fini d’objets distincts.

Explication

Un ensemble fini est défini comme une collection d’objets distincts contenant un nombre fini d’éléments. La propriété que l’ordre et la répétition ne comptent pas est essentielle, mais ne définit pas la finitude en soi.

Answer

Il contient un nombre fini d’objets distincts.

Question 5

5. Deux ensembles finis disjoints $E$ et $F$ contiennent respectivement $7$ et $4$ éléments. Combien d’éléments contient leur réunion $E\cup F$ ?

7

éléments

11

éléments

4

éléments

28

éléments

Explication

Comme $E$ et $F$ sont disjoints, leurs éléments s’additionnent dans la réunion : $\operatorname{Card}(E\cup F)=7+4=11$ . Le produit $7\times4$ correspondrait au nombre de couples du produit cartésien.

Answer

$$11$$ éléments

Question 6

6. Quel est le rôle principal des arrangements dans le dénombrement combinatoire ?

Les arrangements déterminent le nombre de sous-ensembles possibles d’un ensemble.

Les arrangements comptent le nombre de façons d’organiser un ensemble d’objets en tenant compte de l’ordre.

Les arrangements calculent le nombre de permutations d’un ensemble sans répétition.

Les arrangements mesurent la taille maximale d’un sous-ensemble dans un ensemble donné.

Explication

Les arrangements concernent le nombre de façons de sélectionner et d’organiser un certain nombre d’objets en tenant compte de l’ordre. La permutation, en revanche, ne considère pas la sélection, mais uniquement l’ordre des éléments.

Answer

Les arrangements comptent le nombre de façons d’organiser un ensemble d’objets en tenant compte de l’ordre.

Question 7

7. Si $E=\{1\,;\,2\,;\,3\}$ et $F=\{a\,;\,b\}$ , que représente un élément de $E\times F$ ?

Un ensemble contenant les éléments communs à

E

et à

F

Un couple

\left(x\,;\,y\right)

avec

x\in E

et

y\in F

Un couple dont les deux composantes appartiennent à

E

Un élément appartenant à la réunion de

E

et de

F

Explication

Le produit cartésien rassemble les couples dont la première composante vient de $E$ et la seconde de $F$ . Il ne désigne ni la réunion des deux ensembles ni les couples dont les deux composantes proviennent du même ensemble.

Answer

Un couple $$\left(x\,;\,y\right)$$ avec $$x\in E$$ et $$y\in F$$

Question 8

8. Quand la formule $n! = n \times (n-1) \times \text{...} \times 2 \times 1$ a-t-elle été établie pour compter les permutations d’un ensemble à n éléments ?

Elle a été formalisée par le mathématicien suisse Leonhard Euler au XVIIIe siècle.

Elle a été formulée au début du XIXe siècle par Augustin-Louis Cauchy.

Elle a été introduite par le mathématicien Leonhard Euler au XVIIIe siècle.

Elle a été définie par le mathématicien français Pierre-Simon Laplace au début du XIXe siècle.

Explication

La formule $n!$ pour le nombre de permutations a été introduite par Leonhard Euler au XVIIIe siècle. La date précise de cette formalisation n’est pas liée à Cauchy ou Laplace, mais Euler est généralement crédité pour cette contribution.

Answer

Elle a été introduite par le mathématicien Leonhard Euler au XVIIIe siècle.

Question 9

9. En quoi la différence principale entre une permutation et une combinaison réside-t-elle dans leur traitement de l’ordre des éléments ?

Une permutation considère l’ordre des éléments, tandis qu’une combinaison ne le considère pas.

Une permutation est toujours de longueur fixe, alors qu’une combinaison peut varier en taille.

Une permutation concerne uniquement des éléments distincts, alors qu’une combinaison peut inclure des éléments répétés.

Une permutation ne permet pas la répétition des éléments, alors qu’une combinaison le permet.

Explication

Une permutation prend en compte l’ordre des éléments, contrairement à une combinaison qui ne considère que la sélection d’éléments sans ordre. La différence essentielle est donc dans la considération ou non de l’ordre.

Answer

Une permutation considère l’ordre des éléments, tandis qu’une combinaison ne le considère pas.

Question 10

10. Qui est crédité de la formulation de la formule du nombre de combinaisons $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ en combinatoire?

Leonhard Euler

Blaise Pascal

Carl Friedrich Gauss

Édouard Lucas

Explication

C'est Blaise Pascal qui a développé la formule des coefficients binomiaux, notamment dans le cadre de ses travaux sur le triangle de Pascal. Blaise Pascal a également contribué à la théorie des probabilités et à la formalisation des combinaisons.

Answer

Blaise Pascal

QCM : Dénombrement et combinatoire — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression décrit correctement le cardinal d’un ensemble fini $E$ ?

2. Quelle est la définition d’un ensemble fini en mathématiques?

3. Quelle égalité traduit la propriété fondamentale des éléments d’un ensemble ?

4. Quelle est la propriété principale d’un ensemble fini en termes de ses éléments?

5. Deux ensembles finis disjoints $E$ et $F$ contiennent respectivement $7$ et $4$ éléments. Combien d’éléments contient leur réunion $E\cup F$ ?

6. Quel est le rôle principal des arrangements dans le dénombrement combinatoire ?

7. Si $E=\{1\,;\,2\,;\,3\}$ et $F=\{a\,;\,b\}$ , que représente un élément de $E\times F$ ?

8. Quand la formule $n! = n \times (n-1) \times \text{...} \times 2 \times 1$ a-t-elle été établie pour compter les permutations d’un ensemble à n éléments ?

9. En quoi la différence principale entre une permutation et une combinaison réside-t-elle dans leur traitement de l’ordre des éléments ?

10. Qui est crédité de la formulation de la formule du nombre de combinaisons $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ en combinatoire?

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QCM : Dénombrement et combinatoire — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression décrit correctement le cardinal d’un ensemble fini EEE ?

2. Quelle est la définition d’un ensemble fini en mathématiques?

3. Quelle égalité traduit la propriété fondamentale des éléments d’un ensemble ?

4. Quelle est la propriété principale d’un ensemble fini en termes de ses éléments?

5. Deux ensembles finis disjoints EEE et FFF contiennent respectivement 777 et 444 éléments. Combien d’éléments contient leur réunion E∪FE\cup FE∪F ?

6. Quel est le rôle principal des arrangements dans le dénombrement combinatoire ?

7. Si E={1 ; 2 ; 3}E=\{1\,;\,2\,;\,3\}E={1;2;3} et F={a ; b}F=\{a\,;\,b\}F={a;b}, que représente un élément de E×FE\times FE×F ?

8. Quand la formule n!=n×(n−1)×...×2×1n! = n \times (n-1) \times \text{...} \times 2 \times 1n!=n×(n−1)×...×2×1 a-t-elle été établie pour compter les permutations d’un ensemble à n éléments ?

9. En quoi la différence principale entre une permutation et une combinaison réside-t-elle dans leur traitement de l’ordre des éléments ?

10. Qui est crédité de la formulation de la formule du nombre de combinaisons (nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}(kn​)=k!(n−k)!n!​ en combinatoire?

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1. Quelle expression décrit correctement le cardinal d’un ensemble fini $E$ ?

5. Deux ensembles finis disjoints $E$ et $F$ contiennent respectivement $7$ et $4$ éléments. Combien d’éléments contient leur réunion $E\cup F$ ?

7. Si $E=\{1\,;\,2\,;\,3\}$ et $F=\{a\,;\,b\}$ , que représente un élément de $E\times F$ ?

8. Quand la formule $n! = n \times (n-1) \times \text{...} \times 2 \times 1$ a-t-elle été établie pour compter les permutations d’un ensemble à n éléments ?

10. Qui est crédité de la formulation de la formule du nombre de combinaisons $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ en combinatoire?