QCM : Loi binomiale et probabilités — 20 questions

Question 1

1. Quelle caractéristique définit une épreuve de Bernoulli ?

Elle possède deux issues, un succès de probabilité

p

et une défaite de probabilité

1-p

.

Elle possède trois issues, dont deux succès de probabilités différentes.

Elle répète plusieurs fois une expérience dont la probabilité varie à chaque étape.

Elle associe à chaque résultat une probabilité égale à

p

.

Explication

Une épreuve de Bernoulli distingue deux issues : le succès, de probabilité $p$ , et la défaite, de probabilité $1-p$ . La répétition indépendante d’une telle épreuve constitue un schéma de Bernoulli, et non une épreuve unique.

Answer

Elle possède deux issues, un succès de probabilité $$p$$ et une défaite de probabilité $$1-p$$.

Question 2

2. Quelle expression donne la variance d’une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n,p)$ ?

V(X)=n\times p\times(1-p)

V(X)=n\times p

V(X)=\sqrt{n\times p\times(1-p)}

V(X)=n\times(1-p)

Explication

La variance binomiale vaut $n\times p\times(1-p)$ et quantifie la dispersion des résultats autour de leur moyenne. L’expression $n\times p$ correspond à l’espérance, pas à la variance.

Answer

$$V(X)=n\times p\times(1-p)$$

Question 3

3. Quelle caractéristique définit un intervalle de fluctuation centré au seuil de 95 % ?

Les valeurs exclues se répartissent avec au moins 2,5 % dans chaque extrémité

Les valeurs exclues se concentrent avec 5 % dans l’extrémité gauche

Les valeurs exclues se concentrent avec 5 % dans l’extrémité droite

Les valeurs incluses se répartissent avec 2,5 % dans chaque extrémité

Explication

Un intervalle centré répartit le risque dans les deux extrémités, avec au moins 2,5 % à gauche et au moins 2,5 % à droite. Répartir les 5 % dans une seule extrémité décrit un intervalle non centré.

Answer

Les valeurs exclues se répartissent avec au moins 2,5 % dans chaque extrémité

Question 4

4. Dans une répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, que représente la variable aléatoire $X$ ?

Le nombre de défaites obtenues, avec

X\sim B(p;n)

.

Le nombre total d’épreuves réalisées, avec

X\sim B(p;n)

.

Le nombre de succès obtenus, avec

X\sim B(n;p)

.

La probabilité d’un succès particulier, avec

X\sim B(n;p)

.

Explication

La variable $X$ compte les succès obtenus lors des $n$ épreuves et suit une loi binomiale notée $X\sim B(n;p)$ . Le nombre total d’épreuves est donné par $n$ , tandis que $p$ désigne la probabilité d’un succès.

Answer

Le nombre de succès obtenus, avec $$X\sim B(n;p)$$.

Question 5

5. Que signifie un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % ?

Il contient les valeurs observées, avec un risque de 95 % en dehors de l’intervalle

Il contient les valeurs observées, avec un risque total de 2,5 % en dehors de l’intervalle

Il contient les valeurs observées, avec un risque total de 5 % en dehors de l’intervalle

Il contient 95 % des valeurs possibles, sans risque réparti aux extrémités

Explication

Au seuil de 95 %, la proportion totale de valeurs exclues est de 5 %. Le seuil de 95 % ne signifie donc pas que le risque extérieur vaut 95 % ni qu’il est fixé à 2,5 % au total.

Answer

Il contient les valeurs observées, avec un risque total de 5 % en dehors de l’intervalle

Question 6

6. Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , quelle expression donne $P(X=R)$ pour un entier $R$ compris entre $0$ et $n$ ?

\binom{R}{n}p^R(1-p)^{n-R}

\binom{n}{R}p^R(1-p)^{n-R}

n p^R(1-p)^{n-R}

\binom{n}{R}p^{n-R}(1-p)^R

Explication

La loi binomiale combine le nombre de chemins, $\binom{n}{R}$ , avec la probabilité de chaque chemin, $p^R(1-p)^{n-R}$ . Intervertir les exposants ou les indices ne correspond pas à la formule binomiale.

Answer

$$\binom{n}{R}p^R(1-p)^{n-R}$$

Question 7

7. Pour trois épreuves indépendantes, comment obtient-on la probabilité d’une issue composée d’un résultat dans chacune des épreuves ?

On utilise la probabilité conditionnelle du dernier résultat uniquement.

On multiplie les probabilités des trois résultats correspondants.

On additionne les probabilités des trois résultats correspondants.

On divise la probabilité du premier résultat par celles des deux autres.

Explication

L’indépendance permet de représenter l’univers par un produit cartésien et de calculer la probabilité d’une issue par le produit des probabilités correspondantes. L’addition s’applique à des issues disjointes, pas aux résultats successifs d’une même issue composée.

Answer

On multiplie les probabilités des trois résultats correspondants.

Question 8

8. Qu’appelle-t-on un schéma de Bernoulli de longueur $n$ et de paramètre $p$ ?

La répétition de

n

épreuves dont la probabilité de succès change à chaque étape.

La réalisation d’une seule épreuve comportant

n

issues de probabilité

p

.

La réalisation indépendante de

p

épreuves ayant chacune une durée différente.

La répétition indépendante

n

fois d’une même épreuve de Bernoulli de paramètre

p

.

Explication

Un schéma de Bernoulli répète la même épreuve de Bernoulli $n$ fois, avec indépendance entre les répétitions et un paramètre de succès constant $p$ . Si la probabilité varie selon les étapes, les épreuves ne constituent plus une répétition identique de ce type.

Answer

La répétition indépendante $$n$$ fois d’une même épreuve de Bernoulli de paramètre $$p$$.

Question 9

9. Dans un arbre pondéré, comment calcule-t-on la probabilité d’une branche complète puis celle d’un événement représenté par plusieurs branches ?

On additionne les probabilités d’une branche et on multiplie celles des branches correspondantes.

On additionne toutes les probabilités rencontrées sur l’arbre pour chaque événement.

On multiplie les probabilités des branches correspondantes sans tenir compte de leur séparation.

On multiplie les probabilités d’une branche et on additionne celles des branches correspondantes.

Explication

Les probabilités successives parcourues sur une même branche se multiplient, tandis que les branches disjointes représentant un même événement s’additionnent. Additionner les probabilités d’une branche inverse ces deux règles de calcul.

Answer

On multiplie les probabilités d’une branche et on additionne celles des branches correspondantes.

Question 10

10. Quelle est l’espérance d’une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n,p)$ ?

E(X)=\sqrt{n\times p\times(1-p)}

E(X)=n\times p\times(1-p)

E(X)=n+p

E(X)=n\times p

Explication

Pour une loi binomiale, l’espérance est le produit du nombre d’essais par la probabilité de succès, soit $n\times p$ . L’expression $n\times p\times(1-p)$ mesure la variance, et sa racine carrée donne l’écart type.

Answer

$$E(X)=n\times p$$

Question 11

11. Pour construire l’intervalle centré $[22;38]$ au seuil de 95 % pour $X\sim B(75;0,4)$ , quel rôle joue chaque borne ?

22

contrôle le risque à droite et

38

contrôle le risque à gauche

22

et

38

contrôlent ensemble le risque situé à droite

22

contrôle le risque à gauche et

38

contrôle le risque à droite

22

et

38

contrôlent ensemble le risque situé à gauche

Explication

La borne inférieure $22$ est choisie pour contrôler la probabilité $P(X\leq 22)$ , tandis que la borne supérieure $38$ contrôle la probabilité $P(X>38)$ . Inverser ces rôles revient à associer chaque borne au mauvais côté de l’intervalle.

Answer

$$22$$ contrôle le risque à gauche et $$38$$ contrôle le risque à droite

Question 12

12. Si $P(A)=0,4$ et $P_A(B)=0,3$ , quelle est la valeur de $P(A\cap B)$ ?

0,70

1,33

0,12

0,10

Explication

La formule de l’intersection donne $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ , donc $0,4\times0,3=0,12$ . La valeur $0,70$ provient d’une addition et ne correspond pas à la règle de multiplication des probabilités liées.

Answer

En prenant la racine carrée de la variance, soit $$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$$

Answer

$$k=27$$, car $$P(X\le27)>0,95$$

Answer

Il effectue 30 tentatives et atteint une cible avec une probabilité de 0,8 à chaque tentative

Answer

$$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

Answer

Le nombre de chemins comportant $$R$$ succès parmi les $$n$$ lancers

Answer

$$P(X\ge25)=0,05$$

Answer

Non, car cette modification caractérise une dépendance entre les événements.

Answer

$$P(X\ge1)=1-0,2^{30}\approx1$$

Question 13

13. Comment obtient-on l’écart type d’une variable binomiale à partir de sa variance ?

En ajoutant l’espérance à la variance

En multipliant la variance par la probabilité de succès

En prenant la racine carrée de la variance, soit

\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

En divisant la variance par le nombre de tentatives

Explication

L’écart type est défini comme la racine carrée de la variance, donc $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$ . Les autres opérations ne donnent pas la mesure de dispersion associée à l’écart type.

Question 14

14. Pour garantir une probabilité cumulée d’au moins 0,9, quelle valeur minimale de $k$ convient dans l’exercice de l’archer ?

k=25

, car

P(X\ge25)=0,05

k=27

, car

P(X\le27)>0,95

k=20

, car

P(X=20)=0,04

k=30

, car 30 est le nombre total de tentatives

Explication

On recherche le plus petit entier $k$ tel que $P(X\le k)\ge0,9$ . Ici, $P(X\le27)>0,95$ , donc 27 convient, tandis que les autres valeurs citées ne vérifient pas le critère de cumul demandé.

Question 15

15. Dans l’expérience de l’archer, quelle interprétation des paramètres $n=30$ et $p=0,8$ est correcte ?

Il atteint 30 cibles et réalise chaque tentative avec une probabilité de 0,8

Il effectue 0,8 tentative et atteint une cible dans 30 situations possibles

Il réalise 30 tentatives dont la probabilité globale de succès vaut 0,8

Il effectue 30 tentatives et atteint une cible avec une probabilité de 0,8 à chaque tentative

Explication

Le paramètre $n$ indique le nombre de tentatives, tandis que $p$ représente la probabilité de succès lors d’une tentative. La probabilité $p=0,8$ ne décrit pas une probabilité globale sur les 30 tentatives.

Question 16

16. Lorsque $P(B)>0$ , quelle expression définit la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ ?

P_B(A)=P(A)\times P(B)

P_B(A)=\frac{P(A\cup B)}{P(B)}

P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}

P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

Explication

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ rapporte la probabilité de l’intersection $A\cap B$ à celle de $B$ , avec $P(B)>0$ . L’expression $\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ correspond à la probabilité de $B$ sachant $A$ , et non à celle demandée.

Question 17

17. Dans une suite de $n$ lancers, que représente le coefficient binomial $\binom{n}{R}$ ?

La probabilité d’un chemin comportant

R

succès

La probabilité d’obtenir exactement

R

succès parmi les

n

lancers

Le nombre total de résultats possibles après les

n

lancers

Le nombre de chemins comportant

R

succès parmi les

n

lancers

Explication

Le coefficient binomial dénombre les chemins qui conduisent à $R$ succès parmi $n$ lancers. La probabilité d’un chemin particulier est donnée par $p^R(1-p)^{n-R}$ , et non par le coefficient binomial.

Question 18

18. Dans l’exercice de l’archer, quelle probabilité correspond à l’événement « atteindre au moins 25 cibles » ?

P(X=20)=0,04

P(X\ge25)=0,05

P(20\le X\le30)=0,94

P(X>20)=0,05

Explication

« Au moins 25 » signifie que $X$ est supérieur ou égal à 25, donc l’événement est $X\ge25$ et sa probabilité vaut 0,05. L’événement $X>20$ inclut aussi les valeurs de 21 à 24.

Question 19

19. Deux événements sont-ils indépendants lorsque la réalisation de l’un modifie la probabilité de réalisation de l’autre ?

Oui, car chaque événement possède une probabilité définie avant l’expérience.

Non, car des événements indépendants doivent avoir des probabilités identiques.

Non, car cette modification caractérise une dépendance entre les événements.

Oui, car l’indépendance signifie que les événements se produisent dans le même contexte.

Explication

Des événements indépendants ne s’influencent pas : l’issue de l’un ne dépend pas des épreuves précédentes. Des probabilités identiques ne suffisent pas à établir l’indépendance, car deux événements peuvent avoir la même probabilité tout en étant liés.

Question 20

20. Comment calculer la probabilité que l’archer atteigne au moins une cible sur 30 tentatives, avec une probabilité de succès de 0,8 par tentative ?

P(X\ge1)=0,8^{30}\approx1

P(X\ge1)=1-0,2^{30}\approx1

P(X\ge1)=1-0,8^{30}\approx0,2

P(X\ge1)=30\times0,8=24

Explication

L’événement « au moins une cible » est le complément de « aucune cible », dont la probabilité est $0,2^{30}$ . On obtient donc $1-0,2^{30}$ , une valeur très proche de 1.

QCM : Loi binomiale et probabilités — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique définit une épreuve de Bernoulli ?

2. Quelle expression donne la variance d’une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n,p)$ ?

3. Quelle caractéristique définit un intervalle de fluctuation centré au seuil de 95 % ?

4. Dans une répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, que représente la variable aléatoire $X$ ?

5. Que signifie un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % ?

6. Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , quelle expression donne $P(X=R)$ pour un entier $R$ compris entre $0$ et $n$ ?

7. Pour trois épreuves indépendantes, comment obtient-on la probabilité d’une issue composée d’un résultat dans chacune des épreuves ?

8. Qu’appelle-t-on un schéma de Bernoulli de longueur $n$ et de paramètre $p$ ?

9. Dans un arbre pondéré, comment calcule-t-on la probabilité d’une branche complète puis celle d’un événement représenté par plusieurs branches ?

10. Quelle est l’espérance d’une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n,p)$ ?

11. Pour construire l’intervalle centré $[22;38]$ au seuil de 95 % pour $X\sim B(75;0,4)$ , quel rôle joue chaque borne ?

12. Si $P(A)=0,4$ et $P_A(B)=0,3$ , quelle est la valeur de $P(A\cap B)$ ?

13. Comment obtient-on l’écart type d’une variable binomiale à partir de sa variance ?

14. Pour garantir une probabilité cumulée d’au moins 0,9, quelle valeur minimale de $k$ convient dans l’exercice de l’archer ?

15. Dans l’expérience de l’archer, quelle interprétation des paramètres $n=30$ et $p=0,8$ est correcte ?

16. Lorsque $P(B)>0$ , quelle expression définit la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ ?

17. Dans une suite de $n$ lancers, que représente le coefficient binomial $\binom{n}{R}$ ?

18. Dans l’exercice de l’archer, quelle probabilité correspond à l’événement « atteindre au moins 25 cibles » ?

19. Deux événements sont-ils indépendants lorsque la réalisation de l’un modifie la probabilité de réalisation de l’autre ?

20. Comment calculer la probabilité que l’archer atteigne au moins une cible sur 30 tentatives, avec une probabilité de succès de 0,8 par tentative ?

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QCM : Loi binomiale et probabilités — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique définit une épreuve de Bernoulli ?

2. Quelle expression donne la variance d’une variable aléatoire XXX suivant une loi binomiale B(n,p)B(n,p)B(n,p) ?

3. Quelle caractéristique définit un intervalle de fluctuation centré au seuil de 95 % ?

4. Dans une répétition de nnn épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, que représente la variable aléatoire XXX ?

5. Que signifie un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % ?

6. Si XXX suit une loi binomiale de paramètres nnn et ppp, quelle expression donne P(X=R)P(X=R)P(X=R) pour un entier RRR compris entre 000 et nnn ?

7. Pour trois épreuves indépendantes, comment obtient-on la probabilité d’une issue composée d’un résultat dans chacune des épreuves ?

8. Qu’appelle-t-on un schéma de Bernoulli de longueur nnn et de paramètre ppp ?

9. Dans un arbre pondéré, comment calcule-t-on la probabilité d’une branche complète puis celle d’un événement représenté par plusieurs branches ?

10. Quelle est l’espérance d’une variable aléatoire XXX suivant une loi binomiale B(n,p)B(n,p)B(n,p) ?

11. Pour construire l’intervalle centré [22;38][22;38][22;38] au seuil de 95 % pour X∼B(75;0,4)X\sim B(75;0,4)X∼B(75;0,4), quel rôle joue chaque borne ?

12. Si P(A)=0,4P(A)=0,4P(A)=0,4 et PA(B)=0,3P_A(B)=0,3PA​(B)=0,3, quelle est la valeur de P(A∩B)P(A\cap B)P(A∩B) ?

13. Comment obtient-on l’écart type d’une variable binomiale à partir de sa variance ?

14. Pour garantir une probabilité cumulée d’au moins 0,9, quelle valeur minimale de kkk convient dans l’exercice de l’archer ?

15. Dans l’expérience de l’archer, quelle interprétation des paramètres n=30n=30n=30 et p=0,8p=0,8p=0,8 est correcte ?

16. Lorsque P(B)>0P(B)>0P(B)>0, quelle expression définit la probabilité conditionnelle de AAA sachant BBB ?

17. Dans une suite de nnn lancers, que représente le coefficient binomial (nR)\binom{n}{R}(Rn​) ?

18. Dans l’exercice de l’archer, quelle probabilité correspond à l’événement « atteindre au moins 25 cibles » ?

19. Deux événements sont-ils indépendants lorsque la réalisation de l’un modifie la probabilité de réalisation de l’autre ?

20. Comment calculer la probabilité que l’archer atteigne au moins une cible sur 30 tentatives, avec une probabilité de succès de 0,8 par tentative ?

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2. Quelle expression donne la variance d’une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n,p)$ ?

4. Dans une répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, que représente la variable aléatoire $X$ ?

6. Si $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , quelle expression donne $P(X=R)$ pour un entier $R$ compris entre $0$ et $n$ ?

8. Qu’appelle-t-on un schéma de Bernoulli de longueur $n$ et de paramètre $p$ ?

10. Quelle est l’espérance d’une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n,p)$ ?

11. Pour construire l’intervalle centré $[22;38]$ au seuil de 95 % pour $X\sim B(75;0,4)$ , quel rôle joue chaque borne ?

12. Si $P(A)=0,4$ et $P_A(B)=0,3$ , quelle est la valeur de $P(A\cap B)$ ?

14. Pour garantir une probabilité cumulée d’au moins 0,9, quelle valeur minimale de $k$ convient dans l’exercice de l’archer ?

15. Dans l’expérience de l’archer, quelle interprétation des paramètres $n=30$ et $p=0,8$ est correcte ?

16. Lorsque $P(B)>0$ , quelle expression définit la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ ?

17. Dans une suite de $n$ lancers, que représente le coefficient binomial $\binom{n}{R}$ ?