Fiche de révision : Loi binomiale et probabilités

📋 Plan du Cours

1. Probabilités conditionnelles et arbres
2. Indépendance des épreuves
3. Épreuve et schéma de Bernoulli
4. Construction de la loi binomiale
5. Calculs de probabilités binomiales
6. Espérance variance et écart type
7. Intervalles de fluctuation et seuils

📖 1. Probabilités conditionnelles et arbres

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle de A sachant B est définie par $P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ lorsque $P(B)>0$.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour exploiter un arbre pondéré:
  1. Additionner les probabilités issues d’un même nœud
  2. Multiplier les probabilités le long d’une branche
  3. Additionner les probabilités des branches correspondant à un même événement

📐 Formule — La probabilité d’une intersection vérifie $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.

Compléments

📐 Formule — La probabilité de B vérifie $P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$.

💡 Astuce mémo

Branche : probabilité initiale → probabilité conditionnelle → produit

📖 2. Indépendance des épreuves

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance : Des épreuves ou événements sont indépendants lorsque l’issue de l’un ne dépend pas des épreuves précédentes.

★ À maîtriser

📌 Pour des épreuves indépendantes E₁, E₂, …, Eₙ, l’univers est le produit cartésien E₁×E₂×…×Eₙ et la probabilité d’une issue est le produit des probabilités correspondantes.

Compléments

• Pour un menu composé d’une entrée, d’un plat et d’un dessert, si les probabilités correspondantes sont 1/2, 1/3 et 1/2, la probabilité de l’issue choisie est $\frac12\times\frac13\times\frac12=\frac1{12}$.

💡 Astuce mémo

Indépendance → produit des probabilités

📖 3. Épreuve et schéma de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve de Bernoulli : Une expérience qui possède deux issues, le succès de probabilité p et la défaite de probabilité 1-p.
• Schéma de Bernoulli : La répétition n fois, de façon indépendante, d’une même épreuve de Bernoulli de paramètre p.
• Variable binomiale : Dans la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, la variable aléatoire X compte le nombre de succès et suit une loi binomiale notée X~B(n;p).

💡 Astuce mémo

Succès ou défaite : deux issues, puis répétition indépendante

📖 4. Construction de la loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient binomial : Le nombre de chemins conduisant à R succès parmi n lancers.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si X suit une loi binomiale B(n,p), alors, pour tout entier R compris entre 0 et n, $P(X=R)=\binom nR p^R(1-p)^{n-R}$.

Compléments

• Les coefficients binomiaux vérifient $\binom n0=1$, $\binom nn=1$ et $\binom n1=n$.

💡 Astuce mémo

Chemins possibles × probabilités des issues → loi binomiale

📖 5. Calculs de probabilités binomiales

★ À maîtriser

• Pour l’archer, le nombre X de cibles atteintes sur 30 tentatives suit une loi binomiale de paramètres n=30 et p=0,8.

• Dans l’exercice de l’archer, la probabilité d’atteindre exactement 20 cibles est P(X=20)=0,04, celle d’en atteindre plus de 20 est P(X>20)=0,05 et celle d’en atteindre au moins 25 est P(X≥25)=0,05.

• Pour déterminer le nombre minimal de cibles garantissant une probabilité cumulée d’au moins 0,9, on cherche le plus petit k tel que P(X≤k)≥0,9 ; ici P(X≤27)>0,95, donc k=27 convient.

📐 Formule — La probabilité d’obtenir au moins une cible se calcule par le complément : $P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-0{,}2^{30}\approx1$ lorsque n=30 et p=0,8.

Compléments

• Dans le même exercice, la probabilité d’obtenir entre 20 et 30 cibles est P(20≤X≤30)=0,94.

• Sur une calculatrice NumWorks, la fonction binompdf(x,n,p) donne les probabilités P(X=x), tandis que binomcdf(x,n,p) donne les probabilités cumulées P(X≤x).

📖 6. Espérance variance et écart type

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance : Le gain moyen que l’on peut espérer obtenir en renouvelant l’expérience un grand nombre de fois.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour X suivant une loi binomiale B(n,p), l’espérance est $E(X)=n\times p$.

📐 Formule — Pour X suivant une loi binomiale B(n,p), la variance est $V(X)=n\times p\times(1-p)$.

📐 Formule — L’écart type d’une variable binomiale est la racine carrée de sa variance : $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.

💡 Astuce mémo

E-V-σ : moyenne, dispersion, écart autour de la moyenne

📖 7. Intervalles de fluctuation et seuils

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de fluctuation : Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % contient les valeurs observées sauf une proportion de risque de 5 % au total.
• Intervalle centré : Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est centré lorsque les 5 % de valeurs exclues se répartissent avec au moins 2,5 % à gauche et au moins 2,5 % à droite.

★ À maîtriser

• Pour construire l’intervalle de fluctuation centré [22;38] au seuil de 95 % pour B(75;0,4), on choisit 22 comme plus petite valeur telle que P(X≤22)>2,5 % et 38 comme plus petite valeur telle que P(X>38)<2,5 %.

Compléments

• Pour X suivant B(100;0,65), l’intervalle [56;74] est évalué comme intervalle de fluctuation centré au seuil de 95 % en vérifiant les probabilités exclues à gauche et à droite.

💡 Astuce mémo

Seuil de 95 % = risque de 5 %

📊 Tableaux de synthèse

Paramètres et indicateurs binomiaux