Flashcards : Loi binomiale et probabilités — 37 cartes

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1Question

Comment se définit la probabilité conditionnelle de A sachant B ?

Réponse

$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ lorsque $P(B)>0$ .

2Question

Que fait-on avec les probabilités issues d'un même nœud dans un arbre pondéré ?

Réponse

On les additionne.

3Question

Comment calcule-t-on la probabilité le long d'une branche dans un arbre pondéré ?

Réponse

On multiplie les probabilités le long de la branche.

4Question

Comment obtient-on la probabilité d'un événement à partir des branches correspondantes dans un arbre pondéré ?

Réponse

On additionne les probabilités des branches correspondant à cet événement.

5Question

Quelle formule relie la probabilité d'une intersection à une probabilité conditionnelle ?

Réponse

$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ .

6Question

Comment s'exprime la probabilité de B en fonction des intersections avec A et son complémentaire ?

Réponse

$P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$ .

7Question

Qu'impose l'indépendance entre épreuves ou événements ?

Réponse

L'issue de l'un ne dépend pas des épreuves précédentes.

8Question

Comment se forme l'univers pour des épreuves indépendantes E₁, E₂, …, Eₙ ?

Réponse

L'univers est le produit cartésien E₁×E₂×…×Eₙ.

9Question

Comment calcule-t-on la probabilité d'une issue pour des épreuves indépendantes ?

Réponse

C'est le produit des probabilités correspondantes.

10Question

Quelle est la probabilité d'une issue pour un menu avec entrées 1/2, plat 1/3, dessert 1/2 ?

Réponse

La probabilité est $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$ .

11Question

Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli ?

Réponse

Une expérience avec deux issues, succès de probabilité p et défaite de probabilité 1-p.

12Question

Que désigne un schéma de Bernoulli ?

Réponse

La répétition n fois indépendante d'une même épreuve de Bernoulli de paramètre p.

13Question

Que compte la variable aléatoire X dans n épreuves de Bernoulli ?

Réponse

Le nombre de succès dans ces épreuves.

14Question

Quelle loi suit la variable X dans un schéma de Bernoulli ?

Réponse

La loi binomiale notée X~B(n;p).

15Question

Qu'est-ce que le coefficient binomial en probabilité ?

Réponse

Le nombre de chemins conduisant à R succès parmi n lancers.

16Question

Quelle est la valeur de $\binom n0$ pour tout entier n ?

Réponse

$\binom n0=1$ .

17Question

Quelle est la valeur de $\binom nn$ pour tout entier n ?

Réponse

$\binom nn=1$ .

18Question

Quelle est la valeur de $\binom n1$ pour tout entier n ?

Réponse

$\binom n1=n$ .

19Question

Quelle est la formule de la probabilité $P(X=R)$ si X suit une loi binomiale B(n,p) ?

Réponse

$P(X=R)=\binom nR p^R(1-p)^{n-R}$ .

20Question

Quelle loi suit le nombre X de cibles atteintes sur 30 tentatives ?

Réponse

Une loi binomiale de paramètres n=30 et p=0,8.

21Question

Quelle est la probabilité d’atteindre exactement 20 cibles dans l’exercice de l’archer ?

Réponse

P(X=20)=0,04.

22Question

Quelle est la probabilité d’atteindre plus de 20 cibles dans l’exercice de l’archer ?

Réponse

P(X>20)=0,05.

23Question

Quelle est la probabilité d’atteindre au moins 25 cibles dans l’exercice de l’archer ?

Réponse

P(X≥25)=0,05.

24Question

Quelle est la probabilité d’obtenir entre 20 et 30 cibles dans le même exercice ?

Réponse

P(20≤X≤30)=0,94.

25Question

Comment trouve-t-on le nombre minimal k avec P(X≤k)≥0,9 ?

Réponse

On cherche le plus petit k tel que P(X≤k)≥0,9.

26Question

Quelle est la valeur de k si P(X≤27)>0,95 dans cet exercice ?

Réponse

k=27 convient.

27Question

Comment calcule-t-on P(X≥1) pour n=30 et p=0,8 ?

Réponse

Par le complément : $P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0,2^{30}≈1$ .

28Question

Quelle est l'espérance d'une variable binomiale B(n,p) ?

Réponse

$E(X)=n\times p$

29Question

Quelle est la formule de la variance d'une variable binomiale B(n,p) ?

Réponse

$V(X)=n\times p\times(1-p)$

30Question

Comment calcule-t-on l'écart type d'une variable binomiale ?

Réponse

C'est la racine carrée de sa variance.

31Question

Quelle est la formule de l'écart type $\sigma(X)$ d'une variable binomiale ?

Réponse

$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

32Question

Que représente l'espérance d'une variable aléatoire ?

Réponse

Le gain moyen espéré en renouvelant l'expérience plusieurs fois.

33Question

Qu'impose un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % ?

Réponse

Il contient les valeurs observées sauf un risque total de 5 %.

34Question

Quand un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est-il centré ?

Réponse

Quand les 5 % exclus se répartissent avec au moins 2,5 % à gauche et 2,5 % à droite.

35Question

Comment choisit-on la plus petite valeur 22 dans l'intervalle centré [22;38] pour B(75;0,4) ?

Réponse

22 est la plus petite valeur avec P(X≤22)>2,5 %.

36Question

Comment choisit-on la valeur 38 dans l'intervalle centré [22;38] pour B(75;0,4) ?

Réponse

38 est la plus petite valeur avec P(X>38)<2,5 %.

37Question

Comment évalue-t-on l'intervalle [56;74] pour X~B(100;0,65) au seuil de 95 % ?

Réponse

En vérifiant les probabilités exclues à gauche et à droite.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 20 questions sur Loi binomiale et probabilités.

1. Quelle caractéristique définit une épreuve de Bernoulli ?

2. Quelle expression donne la variance d’une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale $B(n,p)$ ?

Faire le QCM →

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