Fiche de révision : Décrire un mouvement

📋 Plan du Cours

1. Définition de l’accélération
2. Accélération en coordonnées cartésiennes
3. Accélération dans la base de Frenet
4. Système et référentiel
5. Vecteur position
6. Mouvement et base de Frenet
7. Mouvements rectilignes et vitesse

📖 1. Définition de l’accélération

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur accélération : la variation du vecteur vitesse par unité de temps, soit $\vec{a}_M(t)=\frac{\vec{v}_M(t+\Delta t)-\vec{v}_M(t)}{\Delta t}=\frac{d\vec{v}_M}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}$.

📝 Points essentiels

• La norme du vecteur accélération, appelée accélération et notée a, se mesure en m.s⁻².

💡 Astuce mémo

Variation de la vitesse → accélération

📖 2. Accélération en coordonnées cartésiennes

★ À maîtriser

📐 Formule — En coordonnées cartésiennes, le vecteur accélération vérifie $\vec{a}_M=(a_x,a_y)=\left(\frac{dv_x}{dt},\frac{dv_y}{dt}\right)=\left(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2}\right)$.

Compléments

📐 Formule — La norme du vecteur accélération cartésien est $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}$.

📖 3. Accélération dans la base de Frenet

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans la base de Frenet, l’accélération s’écrit $\vec{a}_M=\frac{dv}{dt}\vec{u}_t+\frac{v^2}{R}\vec{u}_n$, où R est le rayon de courbure de la trajectoire.

📐 Formule — Dans un mouvement circulaire uniforme, $\frac{dv}{dt}=0$ et l’accélération devient $\vec{a}_M=\frac{v^2}{R}\vec{u}_n$.

💡 Astuce mémo

Tangente : variation de vitesse ; normale : courbure

📖 4. Système et référentiel

🔑 Notions clés & Définitions

• Système : l’objet ou l’ensemble d’objets liés entre eux dont on étudie le mouvement, généralement assimilé à son centre de masse pour simplifier la modélisation.
• Référentiel : un repère composé d’un repère d’espace et d’un repère de temps, par rapport auquel on décrit la position ou le mouvement d’un système.

📝 Points essentiels

• Les trois référentiels utiles sont:
  • le référentiel terrestre
  • le référentiel géocentrique
  • le référentiel héliocentrique

📖 5. Vecteur position

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur position : repère la position du point M à chaque instant dans un référentiel donné.

📖 6. Mouvement et base de Frenet

📝 Points essentiels

• 🔄 La base de Frenet est construite en trois étapes:
  1. Choisir un sens positif le long de la trajectoire.
  2. Orienter le vecteur tangent dans ce sens, tangent à la trajectoire.
  3. Orienter le vecteur normal perpendiculairement vers le centre du cercle osculateur.

📐 Formule — Dans la base de Frenet, le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et vérifie $\vec{v}_M=v\vec{u}_t$.

💡 Astuce mémo

Sens positif → tangent → normal

📖 7. Mouvements rectilignes et vitesse

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne : un mouvement dont la trajectoire est une droite.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un mouvement rectiligne suivant l’axe Ox, on a $\overrightarrow{OM}=x(t)\vec{u}_x$, $\vec{v}_M=\frac{dx}{dt}\vec{u}_x$ et $\vec{a}_M=\frac{d^2x}{dt^2}\vec{u}_x$.

📌 Un mouvement rectiligne uniforme conserve son vecteur vitesse et présente des distances identiques entre deux points successifs, tandis qu’un mouvement rectiligne accéléré voit la valeur de sa vitesse augmenter et l’écart entre deux points successifs s’accroître.

📐 Formule — Le vecteur vitesse se déduit du vecteur position par $\vec{v}_M=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\frac{dx}{dt}\vec{u}_x+\frac{dy}{dt}\vec{u}_y+\frac{dz}{dt}\vec{u}_z$.

Compléments

📐 Formule — En trois dimensions, la norme de la vitesse vérifie $v_M=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$.

💡 Astuce mémo

Uniforme : vitesse conservée ; accéléré : vitesse croissante

📊 Tableaux de synthèse

Composantes de l’accélération de Frenet