QCM : Dérivation des fonctions composées (8 questions)

Question 1

1. Quelle paire de fonctions les exercices proposent-ils de dériver dans le cadre des puissances de fonctions composées ?

f(x)=(5x+13)^8

et

g(x)=(8x^3+4x^2+12)^4

f(x)=(5x+13)^4

et

g(x)=(8x^3+4x^2+12)^8

f(x)=(5x^8+13)^8

et

g(x)=(8x^3+4x^2+12)^4

f(x)=(5x+13)^8

et

g(x)=(8x^3+4x^2+12)^3

Explication

Ces deux exercices portent sur une puissance appliquée à une fonction affine et sur une puissance appliquée à un polynôme de degré trois. Les distracteurs modifient l’exposant ou la fonction intérieure, ce qui ne correspond pas aux fonctions proposées.

Answer

$$f(x)=(5x+13)^8$$ et $$g(x)=(8x^3+4x^2+12)^4$$

Question 2

2. Dans la fonction $g(x)=(8x^3+4x^2+12)^4$ , quel élément constitue la fonction intérieure à laquelle s’applique la puissance ?

8x^3+4x^2+12x

4x^2+12

8x^3+4x^2+12

8x^3+4x^2

Explication

La fonction intérieure est l’expression placée entre parenthèses, $8x^3+4x^2+12$ , tandis que la puissance extérieure vaut quatre. En retirer un terme ou ajouter un terme en $x$ changerait la fonction composée.

Answer

$$8x^3+4x^2+12$$

Question 3

3. Pour dériver $f(x)=\sqrt{u(x)}$ par la règle de dérivation d’une racine composée, quelle condition doit vérifier $u(x)$ ?

u'(x)>0

u(x)\geq 0

u(x)>0

u(x)\ne 0

Explication

La règle s’applique lorsque $u(x)>0$ et donne alors $f'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ . La condition portant sur la dérivée de $u$ , proposée comme distracteur, n’est pas la condition indiquée.

Answer

$$u(x)>0$$

Question 4

4. Sur quel intervalle la fonction $f(x)=\sqrt{2x+4}$ est-elle dérivable, et quelle est sa dérivée ?

Sur

]-\infty,-2[

, avec

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+4}}

Sur

]-2,+\infty[

, avec

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+4}}

Sur

]-2,+\infty[

, avec

f'(x)=\frac{2}{\sqrt{2x+4}}

Sur

[-2,+\infty[

, avec

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+4}}

Explication

La fonction est dérivable pour $x>-2$ , et sa dérivée est $\frac{1}{\sqrt{2x+4}}$ . Inclure $x=-2$ comme dans un distracteur est incorrect, car le dénominateur de cette expression s’annule en ce point.

Answer

Sur $$]-2,+\infty[$$, avec $$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+4}}$$

Question 5

5. Si $g(x)=e^{u(x)}$ et que $u$ est dérivable, quelle règle permet de calculer $g'(x)$ ?

g'(x)=u'(x)e^{u(x)}

g'(x)=u'(x)e^x

g'(x)=e^{u'(x)}

g'(x)=u(x)e^{u(x)}

Explication

La dérivée de l’exponentielle composée est le produit de la dérivée de l’exposant par l’exponentielle elle-même. Remplacer l’exposant par $u'(x)$ , comme dans un distracteur, ne respecte pas la règle de dérivation en chaîne.

Answer

$$g'(x)=u'(x)e^{u(x)}$$

Question 6

6. Pour $g(x)=e^{5x^2-12}$ , quelle expression donne sa dérivée sur $\mathbb{R}$ ?

10xe^{5x^2-12}

e^{10x}

5xe^{5x^2-12}

10xe^{5x^2}

Explication

La dérivée de l’exposant $5x^2-12$ est $10x$ , d’où $g'(x)=10xe^{5x^2-12}$ . Le distracteur avec $5x$ oublie le facteur deux provenant de la dérivée de $x^2$ .

Answer

$$10xe^{5x^2-12}$$

Question 7

7. Pour $f(x)=\ln\left(x+\frac{3}{2}\right)$ , quelle expression donne sa dérivée sur son domaine de définition ?

\frac{1}{x-\frac{3}{2}}

\frac{1}{x+\frac{3}{2}}

x+\frac{3}{2}

\frac{1}{x+\frac{2}{3}}

Explication

La dérivée de $\ln(v(x))$ s’obtient en divisant la dérivée de son argument par cet argument, ici égal à 1 divisé par $x+\frac{3}{2}$ . L’expression avec $x-\frac{3}{2}$ correspondrait à un argument différent.

Answer

$$\frac{1}{x+\frac{3}{2}}$$

Question 8

8. Soit $f(x)=\ln(u(x))$ , avec $u(x)>0$ et $u'(x)=6x$ . Quelle est l’expression de $f'(x)$ ?

\frac{u(x)}{6x}

\frac{6}{u(x)}

\frac{6x}{u'(x)}

\frac{6x}{u(x)}

Explication

La dérivée d’un logarithme composé est le quotient de la dérivée de son argument par cet argument, soit $f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{6x}{u(x)}$ . Inverser ce quotient donnerait une règle incorrecte pour la dérivée de $\ln(u(x))$ .

Answer

$$\frac{6x}{u(x)}$$

QCM : Dérivation des fonctions composées (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle paire de fonctions les exercices proposent-ils de dériver dans le cadre des puissances de fonctions composées ?

2. Dans la fonction $g(x)=(8x^3+4x^2+12)^4$ , quel élément constitue la fonction intérieure à laquelle s’applique la puissance ?

3. Pour dériver $f(x)=\sqrt{u(x)}$ par la règle de dérivation d’une racine composée, quelle condition doit vérifier $u(x)$ ?

4. Sur quel intervalle la fonction $f(x)=\sqrt{2x+4}$ est-elle dérivable, et quelle est sa dérivée ?

5. Si $g(x)=e^{u(x)}$ et que $u$ est dérivable, quelle règle permet de calculer $g'(x)$ ?

6. Pour $g(x)=e^{5x^2-12}$ , quelle expression donne sa dérivée sur $\mathbb{R}$ ?

7. Pour $f(x)=\ln\left(x+\frac{3}{2}\right)$ , quelle expression donne sa dérivée sur son domaine de définition ?

8. Soit $f(x)=\ln(u(x))$ , avec $u(x)>0$ et $u'(x)=6x$ . Quelle est l’expression de $f'(x)$ ?

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Questions et réponses du QCM

1. Quelle paire de fonctions les exercices proposent-ils de dériver dans le cadre des puissances de fonctions composées ?

2. Dans la fonction g(x)=(8x3+4x2+12)4g(x)=(8x^3+4x^2+12)^4g(x)=(8x3+4x2+12)4, quel élément constitue la fonction intérieure à laquelle s’applique la puissance ?

3. Pour dériver f(x)=u(x)f(x)=\sqrt{u(x)}f(x)=u(x)​ par la règle de dérivation d’une racine composée, quelle condition doit vérifier u(x)u(x)u(x) ?

4. Sur quel intervalle la fonction f(x)=2x+4f(x)=\sqrt{2x+4}f(x)=2x+4​ est-elle dérivable, et quelle est sa dérivée ?

5. Si g(x)=eu(x)g(x)=e^{u(x)}g(x)=eu(x) et que uuu est dérivable, quelle règle permet de calculer g′(x)g'(x)g′(x) ?

6. Pour g(x)=e5x2−12g(x)=e^{5x^2-12}g(x)=e5x2−12, quelle expression donne sa dérivée sur R\mathbb{R}R ?

7. Pour f(x)=ln⁡(x+32)f(x)=\ln\left(x+\frac{3}{2}\right)f(x)=ln(x+23​), quelle expression donne sa dérivée sur son domaine de définition ?

8. Soit f(x)=ln⁡(u(x))f(x)=\ln(u(x))f(x)=ln(u(x)), avec u(x)>0u(x)>0u(x)>0 et u′(x)=6xu'(x)=6xu′(x)=6x. Quelle est l’expression de f′(x)f'(x)f′(x) ?

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2. Dans la fonction $g(x)=(8x^3+4x^2+12)^4$ , quel élément constitue la fonction intérieure à laquelle s’applique la puissance ?

3. Pour dériver $f(x)=\sqrt{u(x)}$ par la règle de dérivation d’une racine composée, quelle condition doit vérifier $u(x)$ ?

4. Sur quel intervalle la fonction $f(x)=\sqrt{2x+4}$ est-elle dérivable, et quelle est sa dérivée ?

5. Si $g(x)=e^{u(x)}$ et que $u$ est dérivable, quelle règle permet de calculer $g'(x)$ ?

6. Pour $g(x)=e^{5x^2-12}$ , quelle expression donne sa dérivée sur $\mathbb{R}$ ?

7. Pour $f(x)=\ln\left(x+\frac{3}{2}\right)$ , quelle expression donne sa dérivée sur son domaine de définition ?

8. Soit $f(x)=\ln(u(x))$ , avec $u(x)>0$ et $u'(x)=6x$ . Quelle est l’expression de $f'(x)$ ?