QCM : Limites des suites (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour la suite définie par un=(−1)nu_n=(-1)^n, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Elle n’admet pas de limite, car ses termes prennent alternativement deux valeurs.
Elle admet pour limite 11, puisque cette valeur apparaît parmi ses termes.
Elle n’a pas de limite, contrairement à une suite tendant vers +∞+\infty.
Ses termes alternent entre les valeurs −1-1 et 11.
Elle est convergente, avec pour limite +∞+\infty.

Elle n’admet pas de limite, car ses termes prennent alternativement deux valeurs. · Elle n’a pas de limite, contrairement à une suite tendant vers $$+\infty$$. · Ses termes alternent entre les valeurs $$-1$$ et $$1$$.

Explication

Les termes de cette suite alternent entre −1-1 et 11, ce qui empêche l’existence d’une limite. La valeur 11 apparaît parmi ses termes, mais cela ne suffit pas à en faire une limite. Une suite tendant vers +∞+\infty possède une limite infinie, alors que cette suite n’a pas de limite. Ses termes alternent bien entre −1-1 et 11 : elle n’est donc pas convergente et n’a pas pour limite +∞+\infty.

2. Une suite divergente peut présenter les caractéristiques suivantes :

Elle est convergente dès qu’elle tend vers +∞+\infty.
Elle n’est pas convergente au sens d’une limite finie.
Elle peut ne posséder aucune limite, même infinie.
Elle possède une limite finie dès lors qu’elle n’est pas convergente.
Elle peut tendre vers −∞-\infty sans être convergente.

Elle n’est pas convergente au sens d’une limite finie. · Elle peut ne posséder aucune limite, même infinie. · Elle peut tendre vers $$-\infty$$ sans être convergente.

Explication

Une suite divergente est une suite non convergente : elle peut avoir une limite infinie, par exemple tendre vers −∞-\infty, ou ne posséder aucune limite. Tendre vers +∞+\infty ne constitue pas une convergence vers un réel fini.

3. Que signifie qu’une suite (un) (u_n) converge vers un réel ℓ\ell ?

Les termes unu_n sont égaux à ℓ\ell à partir d’un certain rang.
La suite reste dans un intervalle fixe, même si celui-ci ne contient pas ℓ\ell.
Tout intervalle ouvert contenant ℓ\ell contient tous les termes unu_n à partir d’un certain rang.
La distance entre deux termes consécutifs tend vers ℓ\ell.

Tout intervalle ouvert contenant $$\ell$$ contient tous les termes $$u_n$$ à partir d’un certain rang.

Explication

La convergence vers ℓ\ell signifie que, quel que soit l’intervalle ouvert contenant ℓ\ell, tous les termes de la suite y appartiennent à partir d’un certain rang. Une suite n’a pas besoin de devenir égale à sa limite pour converger.

4. Pour la suite définie par x0=2x_0=2 et xn+1=xn+1xnx_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n}, quelle propriété permet de conclure qu’elle tend vers +∞+\infty ?

Elle vérifie xn2≤4+2nx_n^2\leq 4+2n.
Elle vérifie xn≤2+nx_n\leq 2+n.
Elle vérifie xn≥2+1nx_n\geq 2+\frac{1}{n}.
Elle vérifie xn2≥4+2nx_n^2\geq 4+2n.

Elle vérifie $$x_n^2\geq 4+2n$$.

Explication

La minoration xn2≥4+2nx_n^2\geq 4+2n montre que les termes deviennent arbitrairement grands lorsque nn augmente. La borne supérieure proposée avec xn2≤4+2nx_n^2\leq 4+2n ne permettrait pas, à elle seule, d’établir cette divergence vers +∞+\infty.

5. Quel rôle joue le fait que les deux suites qui encadrent une suite tendent vers le même réel ?

Il prouve que les deux suites qui encadrent sont égales à partir d’un rang.
Il garantit que la suite encadrée est constante à partir d’un rang.
Il permet de conclure que la suite encadrée tend vers ce réel.
Il permet de conclure que la suite encadrée tend vers l’infini.

Il permet de conclure que la suite encadrée tend vers ce réel.

Explication

Lorsque, à partir d’un certain rang, une suite est comprise entre deux suites ayant la même limite finie, le théorème d’encadrement établit qu’elle tend vers cette limite. Des bornes ayant la même limite n’impliquent pas que la suite encadrée soit constante ni que les bornes soient égales.

6. Comment les règles d’addition et de soustraction des limites diffèrent-elles du traitement d’une expression de forme +∞−∞+\infty-\infty ?

Les limites finies ne peuvent pas être additionnées, tandis que +∞−∞+\infty-\infty vaut nécessairement +∞+\infty.
Les limites finies s’additionnent terme à terme, tandis que +∞−∞+\infty-\infty vaut nécessairement −∞-\infty.
Les limites finies s’additionnent ou se soustraient terme à terme, tandis que +∞−∞+\infty-\infty ne permet pas de conclure directement.
Les limites finies se soustraient terme à terme, tandis que +∞−∞+\infty-\infty vaut nécessairement zéro.

Les limites finies s’additionnent ou se soustraient terme à terme, tandis que $$+\infty-\infty$$ ne permet pas de conclure directement.

Explication

Lorsque les deux suites ont des limites finies, la somme et la différence de leurs limites donnent les limites correspondantes. En revanche, dans +∞−∞+\infty-\infty, les termes qui divergent peuvent se compenser de façons différentes, si bien que cette forme ne détermine pas directement une limite.

7. Pourquoi la factorisation par le terme de plus haut degré permet-elle souvent de lever une forme indéterminée dans un quotient de polynômes ?

Elle transforme le quotient en une somme dont chaque terme tend vers zéro.
Elle rend les degrés du numérateur et du dénominateur nécessairement égaux.
Elle met en évidence le terme dominant, qui détermine le comportement du quotient à l’infini.
Elle supprime les termes de plus haut degré afin de ne conserver que les constantes.

Elle met en évidence le terme dominant, qui détermine le comportement du quotient à l’infini.

Explication

Le terme dominant permet de comparer les contributions du numérateur et du dénominateur et de déterminer la limite du quotient. Diviser par une puissance de n ne fait pas nécessairement tendre chaque terme vers zéro, car le terme dominant peut rester non nul.

8. Pour démontrer que In=5−1nI_n=5-\frac{1}{n} tend vers 55 à l’aide d’un seuil, quelle condition sur nn garantit que 5−α<In<55-\alpha<I_n<5 pour un réel α>0\alpha>0 ?

Prendre n>5αn>\frac{5}{\alpha} afin que InI_n dépasse 55.
Prendre n>15αn>\frac{1}{5\alpha} afin que InI_n soit inférieur à 5−α5-\alpha.
Prendre n>αn>\alpha afin que le terme 1n\frac{1}{n} dépasse α\alpha.
Prendre n>1αn>\frac{1}{\alpha} afin que l’écart à 55 soit inférieur à α\alpha.

Prendre $$n>\frac{1}{\alpha}$$ afin que l’écart à $$5$$ soit inférieur à $$\alpha$$.

Explication

Comme 5−In=1n5-I_n=\frac{1}{n}, il suffit que 1n<α\frac{1}{n}<\alpha, ce qui équivaut à n>1αn>\frac{1}{\alpha}. La condition n>αn>\alpha ne garantit pas que l’écart soit inférieur à α\alpha, car elle ne fournit pas la borne réciproque requise.

9. Quels éléments caractérisent l’algorithme qui détermine le premier rang où une suite définie par récurrence atteint un seuil ?

Il calcule tous les termes jusqu’à un rang choisi à l’avance, puis vérifie si l’un d’eux atteint le seuil.
Il initialise le terme et le seuil, augmente ce dernier à chaque étape, puis renvoie le premier terme calculé.
Il fixe le rang final, calcule les termes précédents jusqu’au terme initial, puis renvoie la valeur du seuil.
Il initialise le rang et le terme, calcule les termes suivants tant que le seuil n’est pas atteint, puis renvoie le rang obtenu.

Il initialise le rang et le terme, calcule les termes suivants tant que le seuil n’est pas atteint, puis renvoie le rang obtenu.

Explication

L’algorithme suit la récurrence en partant du rang et du terme initiaux, et poursuit les calculs jusqu’à ce que le seuil soit atteint avant de renvoyer le rang. Calculer jusqu’à un rang fixé d’avance ne garantit pas de trouver le premier rang satisfaisant cette condition.

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Quand ℓ est-elle la limite d’une suite (uₙ) selon les intervalles ouverts ?

Quand tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes à partir d’un certain rang.

Vers quelle limite tendent les suites de termes k/n, k/n², k/n³, k/√n et k/eⁿ ?

Vers 0, pour tout réel k non nul.

Qu’est-ce qu’une suite divergente ?

Une suite qui n’est pas convergente.

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