Fiche de révision : Limites des suites

📋 Plan du Cours

1. Limite finie et convergence
2. Suites sans limite finie
3. Limites infinies des suites
4. Comparaison et encadrement
5. Opérations sur les limites
6. Formes indéterminées et factorisation
7. Déterminer une limite par seuil
8. Modélisation et algorithmes de seuil

📖 1. Limite finie et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Lorsque tout intervalle ouvert contenant ℓ contient toutes les valeurs u_n à partir d’un certain rang.

📝 Points essentiels

• Lorsqu’elle existe, la limite d’une suite est unique.

• Les suites de termes k/n, k/n², k/n³, k/√n et k/eⁿ tendent vers 0 lorsque n tend vers +∞, pour tout réel k non nul.

💡 Astuce mémo

Une bande de plus en plus étroite autour de ℓ finit par contenir tous les termes.

📖 2. Suites sans limite finie

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite divergente : Suite qui n’est pas convergente ; elle peut avoir une limite infinie ou ne pas avoir de limite.

📝 Points essentiels

• La suite définie par u_n = (−1)ⁿ n’a pas de limite, car ses termes alternent entre −1 et 1.

📌 Une suite convergente admet une limite finie, tandis qu’une suite divergente est toute suite qui n’est pas convergente.

💡 Astuce mémo

Converger signifie atteindre une limite finie ; diverger signifie ne pas converger.

📖 3. Limites infinies des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite +∞ : Lorsque, pour tout réel S, ses termes sont supérieurs ou égaux à S à partir d’un certain rang.

★ À maîtriser

📌 Une suite qui tend vers +∞ ou vers −∞ est divergente, car elle n’a pas de limite finie.

Compléments

• La suite définie par x₀ = 2 et xₙ₊₁ = xₙ + 1/xₙ vérifie xₙ² ≥ 4 + 2n et tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

+∞ : les termes dépassent tout seuil ; −∞ : ils passent sous tout seuil.

📖 4. Comparaison et encadrement

★ À maîtriser

📌 Si, à partir d’un certain rang, u_n ≤ v_n ≤ w_n et si u_n et w_n tendent vers le même réel ℓ, alors v_n tend vers ℓ.

Compléments

• Comme −1/n ≤ cos(n)/n ≤ 1/n et que les deux bornes tendent vers 0, la suite cos(n)/n tend vers 0.

💡 Astuce mémo

Deux bornes qui rejoignent la même limite serrent la suite entre elles.

📖 5. Opérations sur les limites

📝 Points essentiels

📌 Si u_n tend vers ℓ et v_n tend vers m, alors u_n + v_n tend vers ℓ + m et u_n − v_n tend vers ℓ − m.

📌 Une forme indéterminée, comme +∞ − ∞, ∞/∞ ou 0 × ∞, ne permet pas de conclure directement sur la limite.

📖 6. Formes indéterminées et factorisation

★ À maîtriser

• Pour lever une indétermination dans un polynôme, on factorise par le terme de plus haut degré.

• Pour étudier un quotient indéterminé de type ∞/∞, on met en facteur au numérateur et au dénominateur le terme prépondérant qui tend le plus vite vers l’infini.

Compléments

• Pour n ≥ 1, (n² + 8n + 10)/n² = 1 + 8/n + 10/n², donc cette expression tend vers +∞.

• La suite de terme général (2n² + 3n)/(10n² − 4) tend vers 1/5 après division du numérateur et du dénominateur par n².

💡 Astuce mémo

Repérer l’indétermination, factoriser le terme dominant, puis appliquer les règles.

📖 7. Déterminer une limite par seuil

★ À maîtriser

• Pour prouver qu’une suite tend vers un réel ℓ, on fixe un intervalle ouvert contenant ℓ, puis on détermine un rang à partir duquel tous les termes appartiennent à cet intervalle.

Compléments

• Pour u_n = 4/n, l’inégalité −α < u_n < β, avec α > 0 et β > 0, est vérifiée dès que n > 4/β, ce qui établit que u_n tend vers 0.

• Pour I_n = 5 − 1/n, l’inégalité 5 − α < I_n < 5 est équivalente à n > 1/α lorsque α > 0, donc I_n tend vers 5.

💡 Astuce mémo

Choisir l’intervalle, traduire l’inégalité, puis trouver le rang seuil.

📖 8. Modélisation et algorithmes de seuil

★ À maîtriser

• Pour une suite définie par récurrence, un algorithme de seuil initialise le rang et le terme, répète le calcul du terme suivant tant que le seuil n’est pas atteint, puis renvoie le rang obtenu.

Compléments

• Dans le modèle des bactéries, q₀ = 1 000 et qₙ₊₁ = √qₙ + qₙ/(n+3), où q_n représente le nombre de milliers de bactéries par mL après n jours.

• Dans le modèle médical du médicament, la substance cesse d’être agressive lorsque son volume par litre de sang est inférieur à 0,01 cL.