Fiche de révision : Dérivation, développements et séries

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et relations d’ordre
2. Calculs et structure des réels
3. Topologie et droite achevée
4. Suites numériques et convergence
5. Suites adjacentes et valeurs d’adhérence
6. Suites de Cauchy et récurrences
7. Fonctions réelles et limites
8. Continuité des fonctions
9. Dérivabilité et propriétés
10. Théorèmes fondamentaux de dérivation
11. Convexité et inégalités
12. Fonctions circulaires et hyperboliques réciproques
13. Comparaisons et développements limités
14. Convergence des séries numériques
15. Intégrabilité au sens de Riemann
16. Propriétés et sommes de Riemann
17. Méthodes de calcul des primitives
18. Intégrales généralisées et convergence

📖 1. Ensembles et relations d’ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : A est inclus dans B, noté A ⊂ B, si tout élément de A appartient à B.
• Relation d’ordre : Une relation binaire R sur E est une relation d’ordre si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
• Proposition : Énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité, vraie ou fausse.
• Ensemble : Un ensemble est une collection d’objets appelés ses éléments, et l’ensemble qui ne contient aucun élément est l’ensemble vide, noté ∅.
• Réunion : Ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B.
• Intersection : Ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B.
• Ordre total : Une relation d’ordre R sur E est totale si, pour tous x et y de E, xRy ou yRx.

★ À maîtriser

• Pour démontrer une implication par contraposée, on démontre que la négation de la conclusion implique la négation de l’hypothèse.

• Pour démontrer une équivalence P ⇔ Q, on établit l’implication P ⇒ Q et sa réciproque Q ⇒ P.

• Une démonstration par récurrence comporte l’initialisation de P(n₀), l’hérédité de P(n) à P(n+1), puis la conclusion que P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.

Compléments

• Pour démontrer P par l’absurde, on suppose P fausse et on en déduit une contradiction.

📖 2. Calculs et structure des réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum : Élément de A tel que tout x ∈ A vérifie x ≤ x₀.
• Majorant : Un élément M est un majorant de A si tout x ∈ A vérifie x ≤ M ; A est majoré si elle admet au moins un majorant.
• Borne supérieure : La borne supérieure de A est le plus petit de ses majorants et se note sup(A) ; elle n’appartient pas nécessairement à A.
• Borne inférieure : La borne inférieure de A est le plus grand de ses minorants et se note inf(A) ; elle n’appartient pas nécessairement à A.

★ À maîtriser

• Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure, et toute partie non vide et minorée de R admet une borne inférieure.

📐 Formule - Pour tous réels x et y, l’inégalité triangulaire donne $|x+y| \le |x|+|y|$ et l’inégalité triangulaire inverse donne $\bigl||x|-|y|\bigr| \le |x-y|$.

📐 Formule - Pour a ≥ 0, $|x| \le a \iff -a \le x \le a$.

📐 Formule - Pour tous réels x₁,…,xₙ et y₁,…,yₙ, l’inégalité de Cauchy-Schwarz s’écrit $\left(\sum_{i=1}^{n}x_i y_i\right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}y_i^2\right)$.

📐 Formule - Pour tout réel a, il existe un unique entier p tel que $p \le a < p+1$ ; cet entier est la partie entière E(a).

• Pour tout réel a > 0 et tout réel b, il existe un entier n ≥ 1 tel que na > b ; c’est la propriété archimédienne de R.

• Q est dense dans R : tout intervalle ouvert non vide de R contient un nombre rationnel.

Compléments

• Toute partie non vide de N admet un plus petit élément, et toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément.

📐 Formule - Pour tous réels x et y, $|xy|=|x||y|$ et, si y ≠ 0, $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$.

📖 3. Topologie et droite achevée

🔑 Notions clés & Définitions

• Point adhérent : Un réel a est adhérent à E si tout intervalle ouvert contenant a rencontre E ; l’ensemble de ces points est l’adhérence de E, notée Ē.
• Point d’accumulation : Un réel a est un point d’accumulation de E si tout intervalle ouvert contenant a contient un élément de E différent de a.
• Ensemble fermé : Ensemble égal à son adhérence.
• Droite numérique achevée : La droite numérique achevée est R̄ = R ∪ {−∞,+∞}, ordonnée de façon que −∞ < x < +∞ pour tout x ∈ R.

★ À maîtriser

• Toute partie bornée de R qui contient une infinité d’éléments possède au moins un point d’accumulation, selon le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Compléments

• L’adhérence de Q est R.

• Toute famille décroissante de segments fermés non vides de R, c’est-à-dire telle que Sₙ ⊃ Sₙ₊₁, possède un réel commun à tous ses segments.

📌 Dans R̄, les opérations sur les réels ne sont que partiellement étendues : les expressions (+∞)+(−∞), 0×(+∞) et 0×(−∞) ne sont pas définies.

• Toute partie non vide de la droite numérique achevée R̄ admet une borne supérieure et une borne inférieure.

💡 Astuce mémo

Des intervalles emboîtés donnent un point commun.

📖 4. Suites numériques et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une application de N dans K, où K vaut R ou C, et son terme de rang n se note uₙ.
• Suite convergente : Une suite (uₙ) converge vers ℓ si, pour tout ε > 0, il existe N tel que n ≥ N implique |uₙ − ℓ| ≤ ε.
• Suite bornée : Une suite réelle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée ; une suite complexe est bornée si la suite de ses modules est bornée.
• Suite monotone : Une suite réelle est croissante si uₙ ≤ uₙ₊₁ pour tout n, décroissante si uₙ₊₁ ≤ uₙ pour tout n, et monotone si elle est croissante ou décroissante.
• Suite extraite : Une suite (vₙ) est extraite de (uₙ) s’il existe une application strictement croissante φ de N dans N telle que vₙ = uφ(n).
• Suite tendant vers +∞ : Une suite réelle tend vers +∞ si, pour tout A ≥ 0, il existe N tel que n ≥ N implique uₙ ≥ A.

📝 Points essentiels

• La limite d’une suite convergente est unique.

• Toute suite numérique convergente est bornée, mais la réciproque est fausse, comme le montre la suite ((−1)ⁿ).

📌 Toute suite réelle croissante et majorée converge, et toute suite réelle décroissante et minorée converge.

💡 Astuce mémo

Convergence ⇒ bornitude, mais bornitude ⇏ convergence.

📖 5. Suites adjacentes et valeurs d’adhérence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites adjacentes : Deux suites réelles $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ est décroissante, $u_n\leq v_n$ pour tout $n\geq0$ et $v_n-u_n$ tend vers 0.
• Valeur d’adhérence : Une valeur d’adhérence d’une suite numérique est la limite d’une sous-suite de cette suite.

📝 Points essentiels

• Deux suites adjacentes convergent vers une même limite.

• Toute sous-suite d’une suite convergeant vers $\ell$ converge également vers $\ell$.

📌 Si les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers une même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.

📌 Si, à partir d’un certain rang, $u_n\leq v_n\leq w_n$ et si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers $\ell$, alors $(v_n)$ converge vers $\ell$.

• Toute suite réelle bornée possède une sous-suite convergente, selon le théorème de Bolzano-Weierstrass.

📖 6. Suites de Cauchy et récurrences

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite de Cauchy : Une suite $(u_n)$ est de Cauchy si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N$ tel que $|u_n-u_m|\leq\varepsilon$ dès que $n,m\geq N$.
• Récurrence linéaire : Une suite est récurrente linéaire d’ordre $p$ si, pour $n\geq p$, elle vérifie $u_n=a_1u_{n-1}+a_2u_{n-2}+\cdots+a_pu_{n-p}$, où les coefficients sont fixés.
• Équation caractéristique : Pour une récurrence linéaire d’ordre $p$, l’équation caractéristique est $r^p-a_1r^{p-1}-\cdots-a_{p-1}r-a_p=0$.
• Suite homographique : Une suite homographique est définie par un terme initial et la relation $u_n=\frac{au_{n-1}+b}{cu_{n-1}+d}=f(u_{n-1})$, où $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$.

★ À maîtriser

📌 Une suite réelle converge si et seulement si elle est de Cauchy.

Compléments

• La suite définie par $u_n=\frac{1}{n^2}$ pour $n\geq1$ est une suite de Cauchy.

• Toute suite de Cauchy est bornée.

• Une suite vérifiant $u_n=au_{n-1}$ est géométrique de raison $a$ et satisfait $u_n=u_0a^n$.

• Une suite vérifiant $u_n=u_{n-1}+r$ est arithmétique de raison $r$ et satisfait $u_n=u_0+nr$.

📌 Si les racines distinctes de l’équation caractéristique ont des multiplicités $m_i$, la solution générale est une somme de termes $P_i(n)r_i^n$, où chaque polynôme $P_i$ est de degré au plus $m_i-1$.

📌 Les points fixes de $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ vérifient l’équation caractéristique $cr^2+(d-a)r-b=0$.

• Pour une suite homographique de points fixes $\alpha$ et $\beta$, si $\alpha=\beta$, la suite $v_n=\frac{1}{u_n-\alpha}$ est arithmétique.

• Pour une suite homographique de points fixes distincts $\alpha$ et $\beta$, la suite $w_n=\frac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}$ est géométrique.

📖 7. Fonctions réelles et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Une fonction réelle d’une variable réelle est une application d’un domaine $D\subseteq\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui associe à chaque $x\in D$ une unique valeur $f(x)$.
• Fonction bornée : Une fonction est bornée en $a$ si elle est définie sur un voisinage épointé de $a$ et si sa valeur absolue y est majorée; elle est bornée sur $D$ si elle est à la fois majorée et minorée sur $D$.
• Graphe : Le graphe d’une fonction $f$ de domaine $D$ est l’ensemble $\{(x,f(x))\mid x\in D\}$.
• Maximum global : Une fonction $f$ admet un maximum global en $\alpha$ si $f(x)\leq f(\alpha)$ pour tout $x$ de son domaine.
• Maximum local : Une fonction $f$ admet un maximum local en $\alpha$ s’il existe un intervalle ouvert contenant $\alpha$ dans lequel $f(x)\leq f(\alpha)$.
• Fonction lipschitzienne : Une fonction est $k$-lipschitzienne, avec $k>0$, si $|f(x)-f(y)|\leq k|x-y|$ pour tous $x,y$ de son domaine.
• Voisinage : Un ensemble $V$ est un voisinage de $x$ s’il contient un intervalle ouvert centré en $x$; il est un voisinage de $+\infty$ ou de $-\infty$ s’il contient respectivement une demi-droite $]A,+\infty[$ ou $]-\infty,A[$.
• Limite à gauche : La limite de $f(x)$ à gauche en $x_0$ vaut $\ell$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\alpha>0$ tel que $|f(x)-\ell|<\varepsilon$ lorsque $-\alpha<x-x_0<0$.
• Limite à droite : La limite de $f(x)$ à droite en $x_0$ vaut $\ell$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\alpha>0$ tel que $|f(x)-\ell|<\varepsilon$ lorsque $0<x-x_0<\alpha$.

★ À maîtriser

• Une fonction admet une limite finie $\ell$ en $x_0$ si et seulement si elle admet la même limite à gauche et à droite en $x_0$.

• Si $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ au voisinage épointé de $a$ et si $f$ et $h$ tendent vers la même limite $\ell$, alors $g$ tend vers $\ell$.

• La limite de $f(x)$ en $a$ vaut $\ell$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ du domaine privée de $a$ qui tend vers $a$, la suite $(f(x_n))$ tend vers $\ell$.

Compléments

• La fonction $f(x)=1/x$ est bornée sur $[a,+\infty[$ si $a>0$, mais elle n’est pas bornée sur $]0,+\infty[$.

• La fonction $f(x)=\cos(1/x)$ n’a pas de limite en $0$, car $x_n=1/(2n\pi)$ et $y_n=1/((2n+1)\pi)$ tendent vers $0$ tandis que $f(x_n)=1$ et $f(y_n)=-1$.

📌 Une fonction définie au voisinage épointé de $a$ admet une limite finie en $a$ si et seulement si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $r>0$ tel que $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$ pour tous $x_1,x_2\in]a-r,a+r[\setminus\{a\}$.

📌 Si $f(x)\to\ell$ lorsque $x\to a$, si $g(y)\to\ell'$ lorsque $y\to\ell$, et si $f(x)\neq\ell$ pour $x\neq a$, alors $g(f(x))\to\ell'$ lorsque $x\to a$.

📖 8. Continuité des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction $f$ est continue en $a$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ lorsque $x$ appartient à son domaine et $|x-a|<\delta$.
• Continuité uniforme : Une fonction est uniformément continue sur $A$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $r>0$ tel que $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$ pour tous $x_1,x_2\in A$ tels que $|x_1-x_2|<r$.
• Prolongement par continuité : Une fonction continue sur $I\setminus\{x_0\}$ est prolongeable par continuité sur $I$ si elle admet une limite finie $\ell$ en $x_0$; le prolongement est défini en posant $g(x_0)=\ell$ et $g(x)=f(x)$ ailleurs.
• Continuité sur un intervalle : Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue à l’intérieur, continue à droite à sa borne gauche lorsqu’elle y est définie, et continue à gauche à sa borne droite lorsqu’elle y est définie.

★ À maîtriser

📌 La somme, le produit et le multiple scalaire de fonctions continues en $a$ sont continus en $a$; le quotient $f/g$ l’est aussi si $g(a)\neq0$.

• Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est bornée et y atteint son maximum et son minimum.

📌 Si $f$ est continue sur $[a,b]$, toute valeur $\gamma$ comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est prise en un point de $[a,b]$.

📌 Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est uniformément continue sur ce segment.

Compléments

• La composée $g\circ f$ est continue en $a$ si $f$ est continue en $a$, si $g$ est continue en $f(a)$ et si l’image de $f$ est incluse dans le domaine de $g$.

• Une fonction est continue en $x_0$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ qui tend vers $x_0$, la suite $(f(x_n))$ tend vers $f(x_0)$.

• Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $f(a)f(b)<0$, alors il existe $c\in]a,b[$ tel que $f(c)=0$.

• L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

📌 Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle est une bijection de cet intervalle sur son image.

📖 9. Dérivabilité et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentiabilité : Une fonction $f$ est différentiable en $x_0$ s’il existe un réel $A$ et une fonction $\Theta$ tendant vers $0$ en $x_0$ tels que $f(x)=f(x_0)+(x-x_0)(A+\Theta(x))$.
• Dérivée en un point : La dérivée de $f$ en $x_0$ est la limite finie $f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$, si cette limite existe.

★ À maîtriser

• Toute fonction dérivable en $x_0$ est continue en $x_0$.

📌 Si une fonction dérivable admet un maximum ou un minimum local en $x_0$, alors $f'(x_0)=0$.

📌 Si une fonction dérivable est croissante sur un intervalle ouvert, alors sa dérivée y est positive ou nulle; si elle est décroissante, sa dérivée y est négative ou nulle.

📐 Formule - Si $f$ est dérivable en $x_0$ et $g$ en $y_0=f(x_0)$, alors $(g\circ f)'(x_0)=g'(y_0)f'(x_0).$

📐 Formule - Si $f$ est bijective, dérivable en $x_0$ et si $f'(x_0)\neq0$, alors $(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)},\qquad y_0=f(x_0).$

Compléments

• Une fonction est dérivable en $x_0$ si et seulement si elle y est différentiable, et le coefficient $A$ de la différentiabilité vaut alors $f'(x_0)$.

📖 10. Théorèmes fondamentaux de dérivation

★ À maîtriser

• Si f est bijective, dérivable en x₀ et si f′(x₀) ≠ 0, alors sa réciproque est dérivable en y₀ = f(x₀) et $(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$.

📌 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie f(a) = f(b), alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que f′(c) = 0.

📐 Formule - Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$.

📌 Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f′ > 0 sur ]a,b[, alors f est strictement croissante sur [a,b].

📐 Formule - Si f et g sont dérivables dans un voisinage de x₀ et si $\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\ell$, alors $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\ell$.

Compléments

📐 Formule - Si f et g sont continues sur [a,b], dérivables sur ]a,b[ et si g′ ne s’annule pas sur ]a,b[, alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$.

• Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie |f′(x)| ≤ M pour tout x ∈ ]a,b[, avec M > 0, alors |f(y) − f(x)| ≤ M|y − x| pour tous x ≠ y dans ]a,b[.

• Si f et g sont continues sur [a,b], dérivables sur ]a,b[, s’annulent en x₀, et si f′ et g′ sont continues en x₀ avec g′(x₀) ≠ 0, alors $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$.

• Si f et g sont continues sur [a,b], dérivables sur ]a,b[, s’annulent en x₀ et si $\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ existe, alors $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$.

📖 11. Convexité et inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d’ordre n : La dérivée d’ordre n de f est la fonction $f^{(n)}=(f^{(n-1)})'$, avec $f^{(0)}=f$.
• Classe Cⁿ : Une fonction est de classe Cⁿ si elle est n fois dérivable et si sa dérivée d’ordre n est continue.
• Fonction convexe : Une fonction f définie sur un intervalle I est convexe si, pour tous x₁,x₂ ∈ I et t ∈ [0,1], $f(tx_1+(1-t)x_2)\leq tf(x_1)+(1-t)f(x_2)$.
• Fonction concave : Une fonction f est concave sur I si −f est convexe sur I, c’est-à-dire si $f(tx+(1-t)y)\geq tf(x)+(1-t)f(y)$ pour x,y ∈ I et t ∈ [0,1].
• Fonction n fois dérivable : Une fonction est n fois dérivable si sa dérivée d’ordre n existe.
• Classe C∞ : Une fonction est de classe C∞ si elle est de classe Cⁿ pour tout entier naturel n.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux fonctions n fois dérivables, la formule de Leibniz donne $(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}$.

📐 Formule - Pour une fonction convexe f et des réels x₁,…,xₙ ∈ I et λ₁,…,λₙ positifs de somme 1, l’inégalité de Jensen est $f\left(\sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i\right)\leq\sum_{i=1}^{n}\lambda_i f(x_i)$.

📌 Une fonction dérivable est convexe sur I si et seulement si sa dérivée est croissante sur I.

📌 Une fonction deux fois dérivable est convexe sur I si et seulement si f′′ ≥ 0 sur I.

Compléments

• La fonction définie par f(x) = x² est convexe sur ℝ.

💡 Astuce mémo

Une dérivée croissante entraîne la convexité

📖 12. Fonctions circulaires et hyperboliques réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Arcsinus : La fonction arcsin est la réciproque de la restriction de sinus à [−π/2, π/2] et va de [−1,1] vers [−π/2, π/2].
• Arccosinus : La fonction arccos est la réciproque de la restriction de cosinus à [0,π] et va de [−1,1] vers [0,π].
• Arctangente : La fonction arctan est la réciproque de la restriction de tangente à ]−π/2, π/2[ et va de ℝ vers ]−π/2, π/2[.
• Sinus hyperbolique : Le sinus hyperbolique est défini sur ℝ par $\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ et sa dérivée est cosh(x) > 0.
• Cosinus hyperbolique : Le cosinus hyperbolique est défini sur ℝ par $\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ et sa dérivée est sinh(x).
• Tangente hyperbolique : La tangente hyperbolique est définie sur ℝ par $\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$ et sa dérivée est strictement positive.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour x ∈ ]−1,1[, $(\arcsin)'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

📐 Formule - Pour x ∈ ]−1,1[, $(\arccos)'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

📐 Formule - Pour tout x ∈ ℝ, $(\arctan)'(x)=\frac{1}{1+x^2}$.

📐 Formule - Pour x ∈ ]−1,1[, $(\argth)'(x)=\frac{1}{1-x^2}$ et $\argth(x)=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$.

Compléments

• Pour x ∈ [−1,1], sin(arcsin x) = x et cos(arccos x) = x ; pour x ∈ ℝ, tan(arctan x) = x.

📐 Formule - Pour x ∈ [−1,1], $\arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{\pi}{2}$.

📐 Formule - Pour tout x ∈ ℝ, $(\argsh)'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

📐 Formule - Pour x ∈ ]1,+∞[, $(\argch)'(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$.

• La fonction tanh est une bijection de ℝ vers ]−1,1[, et sa réciproque argth est dérivable sur ]−1,1[.

📐 Formule - Pour x ∈ ℝ, $\argsh(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$, et pour x ≥ 1, $\argch(x)=\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)$.

📖 13. Comparaisons et développements limités

🔑 Notions clés & Définitions

• Domination : f est dominée par g au voisinage de a s’il existe M > 0 tel que |f(x)| ≤ M|g(x)| dans un voisinage de a.
• Négligeabilité : f est négligeable devant g au voisinage de a s’il existe ε telle que f(x)=ε(x)g(x) et ε(x) tende vers 0 en a ; on note f =ₐ o(g).
• Équivalence : f est équivalente à g au voisinage de a si f−g =ₐ o(g), ce qui, lorsque g ne s’annule pas près de a, équivaut à $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1$.
• Développement limité : f admet un développement limité d’ordre n en 0 si, au voisinage de 0, $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+o(x^n)$, où les aᵢ sont réels.
• DL en un point : Un développement limité de f au voisinage de x₀ s’obtient en développant F(t)=f(x₀+t) au voisinage de 0, puis en remplaçant t par x−x₀.
• DL à l’infini : Un développement limité de f à l’infini s’obtient en développant F(t)=f(1/t) au voisinage de 0.

★ À maîtriser

📌 Une fonction admet un développement limité d’ordre 0 en 0 si et seulement si elle est continue en 0, et elle admet un développement limité d’ordre 1 en 0 si et seulement si elle est dérivable en 0.

📐 Formule - Si f est de classe Cⁿ, la formule de Taylor-Young donne au voisinage de x₀ $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n)$.

Compléments

• Au voisinage de 0, ex−1 ∼ x, sin x ∼ x, tan x ∼ x, sinh x ∼ x et ln(1+x) ∼ x.

• Le développement limité d’une fonction en un point est unique.

• Si f′ admet un développement limité d’ordre n−1 en 0, on obtient celui de f en intégrant la partie régulière et en ajoutant la constante f(0).

📐 Formule - Au voisinage de 0, $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$ et $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$.

• Pour la somme et le multiple scalaire de deux développements limités d’ordre n, les parties régulières s’ajoutent et se multiplient respectivement par le scalaire.

• Pour obtenir le produit de deux développements limités d’ordre n, on tronque le produit de leurs parties régulières aux degrés inférieurs ou égaux à n.

• Si le dénominateur d’un quotient de développements limités ne s’annule pas en 0, sa partie régulière s’obtient par division suivant les puissances croissantes.

• Pour développer f∘u à l’ordre n en 0, on compose les parties régulières puis on tronque le résultat à l’ordre n, lorsque u tend vers 0 et que f et u admettent des développements limités à cet ordre.

📖 14. Convergence des séries numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : Une série numérique de terme général uₙ est définie par ses sommes partielles $s_n=u_0+u_1+\cdots+u_n$.
• Série convergente : Une série est convergente si la suite de ses sommes partielles converge ; la limite est la somme de la série.
• Convergence absolue : Une série réelle ∑Uₙ est absolument convergente si la série ∑|Uₙ| converge.

📝 Points essentiels

• Si une série converge, son terme général tend vers 0 ; la réciproque est fausse, comme le montrent les séries de termes ln(1+1/n) et 1/n.

• Une série à termes positifs à partir d’un rang converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

• Si 0 ≤ uₙ ≤ vₙ à partir d’un rang et si ∑vₙ converge, alors ∑uₙ converge.

• Pour deux séries à termes positifs, si uₙ/vₙ tend vers une limite strictement positive et finie, alors les deux séries sont de même nature.

• Deux séries à termes positifs dont les termes généraux sont équivalents à l’infini sont de même nature.

• La série de Riemann $\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si α > 1.

• Toute série absolument convergente est convergente, mais la réciproque est fausse.

• Si $\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{U_{n+1}}{U_n}\right|=\ell$ avec ℓ < 1, alors la série ∑Uₙ converge.

• Si $\lim_{n\to+\infty}\left|\frac{U_{n+1}}{U_n}\right|=\ell$ avec ℓ > 1, alors la série ∑Uₙ diverge.

• Pour une série dont le rapport vérifie $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{U_{n+1}}{U_n}\right|=\ell$, le critère de D’Alembert garantit la convergence si $\ell<1$ et la divergence si $\ell>1$ ; il ne conclut pas si $\ell=1$.

• Pour une série telle que $\lim_{n\to\infty}|U_n|^{1/n}=\ell$, le critère de Cauchy garantit la convergence si $\ell<1$ et la divergence si $\ell>1$.

• Si les sommes partielles de $\alpha_n$ sont uniformément bornées, si $U_n\to0$ et si $\sum_{n\ge0}|U_{n+1}-U_n|$ converge, alors la série $\sum_{n\ge0}\alpha_nU_n$ converge selon le critère d’Abel.

• Si les sommes partielles de $\alpha_n$ sont uniformément bornées et si $U_n$ décroît vers 0, alors la série $\sum_{n\ge0}\alpha_nU_n$ converge selon le théorème de Dirichlet.

💡 Astuce mémo

La convergence absolue implique la convergence, mais la réciproque échoue

📖 15. Intégrabilité au sens de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction en escalier : Une fonction sur $[a,b]$ est en escalier s’il existe une subdivision sur laquelle elle est constante sur chaque intervalle ouvert entre deux points consécutifs.
• Sommes de Darboux : Les sommes de Darboux inférieure et supérieure d’une fonction bornée sur une subdivision pondèrent chaque largeur d’intervalle par l’infimum et le supremum de la fonction sur cet intervalle.
• Intégrabilité de Riemann : Une fonction bornée est intégrable au sens de Riemann si la borne supérieure de ses sommes de Darboux inférieures égale la borne inférieure de ses sommes de Darboux supérieures.
• Subdivision : Une subdivision de $[a,b]$ est une suite finie strictement croissante $a_0=a<a_1<\cdots<a_n=b$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si une fonction en escalier vaut $\lambda_i$ sur chaque intervalle $]a_{i-1},a_i[$, son intégrale est $I(f)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i(a_i-a_{i-1})$.

📌 Une fonction bornée est intégrable au sens de Riemann si et seulement si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe une subdivision dont l’écart entre les sommes de Darboux supérieure et inférieure est inférieur ou égal à $\varepsilon$.

Compléments

• L’intégrale d’une fonction en escalier ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie.

• Toute fonction monotone sur un segment est intégrable au sens de Riemann.

• Toute fonction continue sur un segment est intégrable au sens de Riemann.

📖 16. Propriétés et sommes de Riemann

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une fonction continue et une subdivision régulière de $[a,b]$, les sommes $\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)$ tendent vers $\int_a^b f(x)\,dx$ lorsque $a_{i-1}\le x_i\le a_i$.

📌 Si $f\le g$ et si les deux fonctions en escalier sont intégrables, alors $I(f)\le I(g)$ ; en particulier, une fonction intégrable positive a une intégrale positive ou nulle.

📐 Formule - Pour une fonction intégrable sur $[a,b]$ et $a\le c\le b$, la relation de Chasles donne $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$.

📐 Formule - Pour deux fonctions intégrables sur $[a,b]$, $\int_a^b(f+g)(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx$.

📐 Formule - Pour une fonction bornée et intégrable sur $[a,b]$, $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|\le\int_a^b|f(x)|\,dx$.

Compléments

• La limite de $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}$ vaut $\ln 2$, car cette somme est une somme de Riemann de la fonction $f(x)=\frac{1}{1+x}$ sur $[0{,}1]$.

📌 Pour une fonction intégrable, l’intégrale sur un intervalle est la limite commune des encadrements par des fonctions en escalier inférieure et supérieure dont l’écart d’intégrales tend vers 0.

📐 Formule - Pour une fonction intégrable sur $[a,b]$, on a $\int_a^a f(x)\,dx=0$ et $\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$.

📐 Formule - Pour deux fonctions bornées et intégrables sur $[a,b]$, $\left(\int_a^b f(x)g(x)\,dx\right)^2\le\left(\int_a^b f^2(x)\,dx\right)\left(\int_a^b g^2(x)\,dx\right)$.

📖 17. Méthodes de calcul des primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une fonction $F$ est une primitive de $f$ si sa dérivée est égale à $f$ sur l’intervalle considéré, avec les dérivées unilatérales correspondantes aux bornes incluses.
• Fraction rationnelle : Une fraction rationnelle est un quotient $F(x)=\frac{A(x)}{B(x)}$ de polynômes, et son degré est $\deg F=\deg A-\deg B$.

★ À maîtriser

• Sur un intervalle, deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante : si $F$ est une primitive, toute autre primitive s’écrit $F+c$.

📌 Si $f$ est continue et $c$ appartient à son intervalle de définition, la fonction $F(x)=\int_c^x f(t)\,dt$ est une primitive de $f$.

📐 Formule - Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle contenant $u$ et $v$, alors $\int_u^v f(t)\,dt=F(v)-F(u)$.

📐 Formule - Pour $\varphi$ de classe $C^1$ sur $[a,b]$ et $f$ continue sur son image, le changement de variable donne $\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\,dx$.

📐 Formule - Pour deux fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[a,b]$, l’intégration par parties donne $\int_a^b u'(x)v(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x)\,dx$.

📌 Les éléments simples de première espèce sont de la forme $\frac{\lambda}{(x-a)^p}$, tandis que ceux de deuxième espèce sont de la forme $\frac{dx+e}{(x^2+bx+c)^q}$ avec $b^2-4c<0$.

Compléments

📌 Une fraction rationnelle se décompose de manière unique en sa partie entière et en éléments simples associés aux facteurs linéaires et quadratiques irréductibles de son dénominateur.

• Si une fraction rationnelle est de degré strictement négatif, sa partie entière dans la décomposition en éléments simples est le polynôme nul.

• Pour intégrer une fraction contenant $\sin x$ et $\cos x$, le changement $t=\tan(x/2)$ permet de les exprimer comme des fractions rationnelles en $t$.

• Pour une expression en $e^x$, $\sinh x$, $\cosh x$ ou $\tanh x$, le changement $t=e^x$ permet d’obtenir une fraction rationnelle en $t$.

• Pour une intégrale abélienne faisant intervenir $\sqrt{t^2+1}$, on pose $t=\sinh u$ ; pour $\sqrt{t^2-1}$, on pose $t=\pm\cosh u$ avec $u>0$ ; pour $\sqrt{1-t^2}$, on pose $t=\sin u$ ou $t=\cos u$.

📖 18. Intégrales généralisées et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale généralisée : Une intégrale généralisée est une intégrale sur un intervalle dont une borne est exclue ou infinie, définie par la limite d’intégrales sur des intervalles tronqués.
• Convergence absolue : Une intégrale généralisée de $f$ est absolument convergente si l’intégrale généralisée de $|f|$ converge.

★ À maîtriser

• Une intégrale généralisée sur un intervalle ouvert converge si les deux intégrales généralisées obtenues en la scindant en un point intérieur convergent.

• Pour une fonction positive et localement intégrable sur $[a,b[$, l’intégrale converge si et seulement si les intégrales partielles $\int_a^x f(t)\,dt$ sont majorées indépendamment de $x$.

• Si $f\ge0$ décroît vers 0 sur $[a,+\infty[$, si $g$ est localement intégrable et si les intégrales partielles de $g$ sont uniformément bornées, alors $\int_a^{+\infty}f(t)g(t)\,dt$ converge selon la règle d’Abel.

• L’intégrale de Bertrand $\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha(\ln x)^\beta}$, pour $a>1$, converge si et seulement si $\alpha>1$ ou si $\alpha=1$ et $\beta>1$.

• L’intégrale de Riemann $\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$, tandis que $\int_0^a\frac{dx}{x^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha<1$.

• Toute intégrale généralisée absolument convergente est convergente.

Compléments

• Une intégrale généralisée sur $[a,b[$ converge si et seulement si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $c<b$ tel que $\left|\int_{x_1}^{x_2}f(t)\,dt\right|\le\varepsilon$ pour tous $x_1,x_2\in[c,b[$.

• Une fonction continue et bornée sur un intervalle ouvert borné a une intégrale généralisée convergente sur cet intervalle.

• Si deux intégrales généralisées convergent, l’intégrale de leur somme converge et l’intégrale d’un multiple réel se calcule par linéarité.

• Si $f$ et $g$ sont continues et non bornées près d’une borne impropre, si $f/g$ tend vers une limite réelle et si l’intégrale de $g$ converge, alors l’intégrale de $f$ converge.

• Si $f$ est continue sur $[a,+\infty[$ et si $x^\alpha f(x)$ tend vers une limite réelle pour un $\alpha>1$, alors $\int_a^{+\infty}f(t)\,dt$ converge.

• Si $f$ est continue sur $[a,+\infty[$ et si $x^\alpha f(x)$ tend vers une limite non nulle pour un $\alpha\le1$, alors $\int_a^{+\infty}f(t)\,dt$ diverge.

💡 Astuce mémo

À l’infini, contrôler les queues ; près d’une borne finie, contrôler le voisinage singulier.