QCM : Dérivation, développements et séries (69 questions)

Explication

La contraposée de P implique Q est la proposition selon laquelle non-Q implique non-P, et elle est équivalente à l’implication initiale. L’implication Q implique P est la réciproque, pas la contraposée.

Explication

Une équivalence exige de démontrer les deux implications, de P vers Q et de Q vers P. Une seule implication, même accompagnée d’un exemple, ne suffit pas à établir l’équivalence.

Explication

La récurrence repose sur l’initialisation au rang n₀ et l’hérédité d’un rang au suivant, ce qui permet de conclure pour tous les rangs concernés. Vérifier deux rangs ou relier un rang à celui qui le précède ne démontre pas cette chaîne.

Explication

Une relation d’ordre est définie par la réflexivité, l’antisymétrie et la transitivité. La symétrie, contrairement à l’antisymétrie, n’est pas la propriété requise.

Explication

Le maximum est un élément de A qui est supérieur ou égal à tous les éléments de A. Un majorant ou un supremum peut être extérieur à A, ce qui ne suffit donc pas à constituer un maximum.

Explication

Le nombre 1 est le plus petit majorant de ]0,1[, donc sa borne supérieure, même s’il n’appartient pas à l’ensemble. La confusion consiste à traiter cette borne comme un maximum, lequel devrait appartenir à A.

Explication

Toute partie non vide et minorée de ℝ admet une borne inférieure, tandis que l’existence d’une borne supérieure est garantie pour une partie majorée. L’absence de majorant n’empêche donc pas l’existence de la borne inférieure.

Explication

Ici, |x+y| vaut 2 et |x|+|y| vaut 8 ; la différence des valeurs absolues vaut également 2, tandis que |x−y| vaut 8. La dernière proposition calcule incorrectement |x−y|, qui vaut 8 et non 2.

Explication

Être adhérent signifie que chaque intervalle ouvert autour de a rencontre E, qu'a appartienne ou non à E. Exiger un élément distinct de a correspond à la condition plus forte de point d’accumulation.

Explication

Un point d’accumulation doit être approché par des éléments de E distincts de lui dans chaque intervalle ouvert qui le contient. Un simple point adhérent peut satisfaire la condition de rencontre uniquement grâce au point lui-même.

Explication

Le théorème de Bolzano-Weierstrass garantit qu’une partie bornée de ℝ ayant une infinité d’éléments possède au moins un point d’accumulation. Il ne garantit pas à lui seul que l’ensemble est fermé ou que ses points d’accumulation lui appartiennent.

Explication

Une suite numérique associe à chaque entier naturel un élément de $\mathbb{R}$ ou de $\mathbb{C}$, noté $u_n$ au rang $n$. L’inversion des ensembles de départ et d’arrivée décrit une application différente.

Explication

La convergence exige que, quelle que soit la précision positive demandée, tous les termes à partir d’un certain rang soient à cette distance ou moins de $\ell$. La condition avec une distance au moins égale à $\varepsilon$ décrit l’inverse de ce rapprochement.

Explication

La suite $(-1)^n$ reste bornée tout en oscillant, ce qui montre que la bornitude ne suffit pas à assurer la convergence; toute suite convergente est, elle, bornée. L’affirmation selon laquelle toute suite bornée converge est réfutée par cet exemple.

Explication

Le théorème de convergence monotone garantit la convergence d’une suite réelle croissante et majorée; son analogue vaut pour une suite décroissante et minorée. Une sous-suite convergente n’est pas une condition supplémentaire requise pour cette conclusion.

Explication

L’adjacence combine la croissance de la première suite, la décroissance de la seconde, l’inégalité $u_n\leq v_n$ et l’écart qui tend vers zéro. Le fait que les deux suites tendent vers zéro n’est pas requis par cette définition.

Explication

Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite. Des limites distinctes laisseraient un écart non nul, contrairement à la condition selon laquelle la différence des termes tend vers zéro.

Explication

Les termes de $\left(u_n\right)$ se répartissent entre les indices pairs et impairs; si les deux sous-suites correspondantes tendent vers $\ell$, la suite entière y tend aussi. La monotonie n’est pas une condition nécessaire à cette conclusion.

Explication

Le théorème d’encadrement implique que $v_n$ tend vers $\ell$ lorsque les deux suites qui l’encadrent ont cette même limite. Le comportement des premiers termes n’affecte pas la convergence, qui dépend des termes à partir d’un certain rang.

Explication

Dans une suite de Cauchy, les termes deviennent mutuellement aussi proches que souhaité lorsque leurs indices sont assez grands. La condition portant sur $|u_n|$ décrit plutôt un rapprochement de la suite vers zéro.

Explication

Dans $\mathbb{R}$, être convergente et être de Cauchy sont deux propriétés équivalentes. La bornitude seule ne suffit pas à caractériser la convergence, comme le montre une suite oscillante bornée.

Explication

Une récurrence linéaire d’ordre $p$ exprime chaque terme à partir des $p$ termes précédents par une combinaison linéaire à coefficients fixés. Une suite arithmétique ou géométrique ne dépend pas en général de $p$ termes antérieurs selon cette forme.

Explication

Une fonction réelle d’une variable réelle est une application d’un domaine inclus dans $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$, avec une valeur unique pour chaque élément du domaine. Une relation qui peut associer plusieurs valeurs à un même élément ne répond pas à cette définition.

Explication

Être bornée en $a$ signifie être définie sur un voisinage épointé de $a$ et avoir une valeur absolue majorée sur celui-ci. L’existence d’une limite finie, contrairement à la majoration, n’est pas requise.

Explication

Le théorème des gendarmes garantit que $g$ tend vers $\ell$ lorsqu’elle est encadrée par deux fonctions tendant vers cette même limite. La valeur de $g(a)$ n’intervient pas, puisque l’encadrement concerne un voisinage épointé.

Explication

La limite en $a$ vaut $\ell$ si et seulement si toute suite d’éléments du domaine, distincts de $a$ et convergeant vers $a$, a une suite d’images convergeant vers $\ell$. Une seule suite convenable ne suffit pas à établir ce critère.

Explication

La continuité en $a$ exige qu’à toute précision $\varepsilon$ sur les valeurs corresponde un voisinage de rayon $\delta$ autour de $a$. L’inégalité sur les entrées doit être $|x-a|<\delta$, et non l’inégalité inverse.

Explication

La somme et le produit de fonctions continues en $a$ sont continus sans condition supplémentaire sur $g(a)$. En revanche, la règle de continuité du quotient exige $g(a)\neq0$, condition qui échoue ici.

Explication

Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint effectivement un maximum et un minimum sur celui-ci. La prise de toutes les valeurs comprises entre les valeurs aux extrémités est une propriété distincte, qui ne constitue pas la garantie demandée.

Explication

La continuité uniforme requiert un rayon $r$ qui dépend de $\varepsilon$, mais pas des points choisis dans $A$. Si le rayon peut varier d’un point à l’autre, on obtient la condition de continuité ordinaire plutôt que l’uniformité.

Explication

La différentiabilité s’exprime par une variation linéaire de pente $A$, accompagnée d’un terme d’erreur $\Theta(x)$ qui tend vers zéro. L’approximation doit être multipliée par $x-x_0$, ce qui n’est pas le cas d’une erreur additive indépendante de ce facteur.

Explication

La dérivée est la limite finie du taux d’accroissement lorsque la variable tend vers le point considéré. Le dénominateur s’annule en $x_0$, si bien que la dérivée est définie par une limite et non par la valeur du quotient en ce point.

Explication

Pour une fonction dérivable qui possède un extremum local en un point intérieur, la dérivée en ce point est nulle. La dérivée n’est donc pas nécessairement strictement positive ou négative à cet extremum.

Explication

La règle de dérivation d’une composée multiplie la dérivée de la fonction extérieure en $y_0=f(x_0)$ par celle de la fonction intérieure en $x_0$. Évaluer la dérivée de $g$ en $x_0$ confond l’entrée de la fonction extérieure avec celle de la composition.

Explication

La dérivée de la réciproque en l’image de x₀ est l’inverse de la dérivée de f en x₀. La valeur f′(x₀) elle-même est la dérivée de f, pas celle de sa réciproque.

Explication

Le théorème de Rolle garantit un point intérieur où la tangente est horizontale, donc où la dérivée s’annule. L’égalité des valeurs aux extrémités n’implique pas que la fonction soit constante.

Explication

Le théorème des accroissements finis affirme que le taux de variation sur l’intervalle est égal à la dérivée en au moins un point intérieur. L’égalité avec f(c), plutôt qu’avec f′(c), ne correspond pas à ce résultat.

Explication

Une dérivée strictement positive sur l’intérieur de l’intervalle entraîne que f est strictement croissante sur [a,b]. Une dérivée seulement positive ou nulle peut garantir la croissance sans garantir qu’elle soit stricte.

Explication

La dérivée d’ordre n s’obtient en dérivant la dérivée d’ordre n−1, et l’ordre zéro désigne la fonction elle-même. Élever f′ à la puissance n ne revient pas à dériver f de façon répétée.

Explication

Être de classe Cⁿ signifie être n fois dérivable et avoir une dérivée d’ordre n continue. L’existence de cette dérivée sans sa continuité ne suffit pas à satisfaire la définition.

Explication

La formule de Leibniz combine les dérivées d’ordres complémentaires de f et de g, pondérées par les coefficients binomiaux. La somme sans ces coefficients omet les multiplicities qui apparaissent lors des dérivations successives.

Explication

Pour une fonction convexe, la valeur au barycentre pondéré est inférieure ou égale à la moyenne pondérée des valeurs de la fonction. L’inégalité inversée correspondrait au sens associé à une fonction concave.

Explication

Arcsin inverse la restriction du sinus à l’intervalle où celui-ci prend ses valeurs de façon bijective, soit $[-\pi/2,\pi/2]$. L’intervalle $[0,\pi]$ sert à définir la réciproque du cosinus, et non celle du sinus.

Explication

Sur ]−1,1[, la dérivée de arcsin est l’inverse de $\sqrt{1-x^2}$ et elle est positive. Le signe négatif dans une expression de même forme correspond à la dérivée d’arccos.

Explication

La dérivée d’arctan en tout réel x vaut $\frac{1}{1+x^2}$, donc en x = 2 on remplace simplement x par 2. La formule avec $1-x^2$ est celle de la dérivée d’argth, sur son domaine de définition.

Explication

Sur ]−1,1[, argth a pour dérivée $\frac{1}{1-x^2}$ et s’écrit comme la moitié du logarithme du quotient indiqué. La dérivée $\frac{1}{1+x^2}$ est celle d’arctan, dont l’expression ne comporte pas ce dénominateur.

Explication

La domination signifie qu’il existe une constante qui borne $|f(x)|$ par un multiple de $|g(x)|$, ce qui revient ici à avoir un quotient borné. Un quotient qui tend vers zéro caractérise la négligeabilité, une condition plus forte.

Explication

La négligeabilité s’exprime en écrivant $f$ comme le produit de $g$ par un facteur qui tend vers zéro. Un quotient tendant vers un décrit plutôt l’équivalence de $f$ et $g$.

Explication

L’équivalence signifie que l’écart entre les fonctions est négligeable devant $g$, ce qui donne un quotient tendant vers un lorsque $g$ ne s’annule pas. Un quotient tendant vers zéro correspond à la négligeabilité de $f$ devant $g$, et non à leur équivalence.

Explication

Les coefficients du polynôme de Taylor-Young sont les dérivées évaluées en $x_0$, divisées par les factorielles correspondantes, et le reste est négligeable devant $(x-x_0)^n$. Évaluer les dérivées en $x$ au lieu de $x_0$ ne donne pas cette formule.

Explication

La somme partielle d’indice $n$ additionne les termes de $u_0$ à $u_n$. Le produit des termes jusqu’à $n$ est une autre opération et ne définit pas la somme partielle.

Explication

Une série converge lorsque la suite de ses sommes partielles possède une limite finie, appelée somme de la série. La convergence du terme général vers une limite finie ne suffit pas à établir cette convergence.

Explication

Pour toute série convergente, le terme général tend vers zéro, mais l’exemple de la série harmonique montre que la réciproque est fausse. Ainsi, une limite nulle des termes est une condition nécessaire, pas une condition suffisante.

Explication

La positivité et l’inégalité terme à terme permettent de comparer les sommes partielles : celles de la série de $u_n$ restent contrôlées par celles de la série convergente de $v_n$. Le fait que les termes de $u_n$ soient plus petits ne force pas la divergence.

Explication

Une fonction en escalier est constante sur chacun des intervalles ouverts déterminés par une certaine subdivision. Être affine sur ces intervalles est une condition différente et n’impose pas la constance.

Explication

Chaque valeur constante est pondérée par la largeur de l’intervalle correspondant, puis ces contributions sont additionnées. La somme des seules largeurs ne tient pas compte des valeurs prises par la fonction.

Explication

Chaque terme des sommes de Darboux est le produit de la largeur de l’intervalle par une borne de la fonction sur cet intervalle : l’infimum en bas, le supremum en haut. Inverser ces rôles échange les sommes inférieure et supérieure.

Explication

L’intégrabilité équivaut à pouvoir rendre l’écart entre les sommes de Darboux aussi petit que souhaité en choisissant une subdivision adaptée. Exiger une égalité à zéro sur une subdivision particulière est une condition beaucoup plus forte que ce critère.

Explication

Ces sommes de Riemann approchent l’intégrale de la fonction continue lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers l’infini. L’intégrale de $|f|$ n’est pas la limite visée, sauf dans des cas particuliers où $f$ est positive.

Explication

La monotonie de l’intégrale garantit que l’ordre entre les fonctions est conservé par leurs intégrales. L’égalité n’est pas imposée : elle exige des conditions supplémentaires sur les fonctions.

Explication

La relation de Chasles décompose l’intégrale sur l’intervalle entier en la somme des intégrales sur les deux intervalles adjacents. Une différence entre les deux morceaux ne reconstitue pas, en général, l’intégrale totale.

Explication

L’intégrale de la valeur absolue contrôle la valeur absolue de l’intégrale, car les contributions positives et négatives de $f$ peuvent se compenser. L’égalité n’est pas garantie, notamment lorsque $f$ change de signe.

Explication

Par définition, une primitive $F$ de $f$ vérifie $F'=f$ sur l’intervalle considéré, avec la condition adaptée aux bornes incluses. Dire que $F=f$ confond une fonction avec sa dérivée.