Fiche de révision : Dérivation et convexité

📋 Plan du Cours

1. Calcul des dérivées successives
2. Fonctions convexes et concaves
3. Signe de la dérivée seconde
4. Fonctions composées
5. Dérivation des fonctions composées
6. Tangentes et point d’inflexion
7. Dérivée seconde

📖 1. Calcul des dérivées successives

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour f(x) = 1/4 x^4 - x^3 + 6x, on a $f'(x)=x^3-3x^2+6$ et $f''(x)=3x^2-6x$.

💡 Astuce mémo

Fonction → dérivée première → dérivée seconde

📖 2. Fonctions convexes et concaves

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : au-dessus de ses sécantes sur un intervalle I
• Fonction concave : au-dessous de ses sécantes sur un intervalle I

📝 Points essentiels

📌 Une vitesse constante correspond à une évolution linéaire, une vitesse instantanée qui augmente illustre une fonction convexe, et une vitesse instantanée qui diminue illustre une fonction concave.

💡 Astuce mémo

Convexe : au-dessus des sécantes ; concave : au-dessous

📖 3. Signe de la dérivée seconde

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I, f est convexe sur I si et seulement si f' est croissante sur I, si et seulement si f'' est positive sur I.

📌 Pour une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I, f est concave sur I si et seulement si f' est décroissante sur I, si et seulement si f'' est négative sur I.

• Pour étudier la convexité de f, on étudie le signe de f''(x), puis on déduit les intervalles de convexité et de concavité.

Compléments

• Comme $f''(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ s’annule en 0 et en 2, la fonction est convexe sur $]-\infty,0[\cup]2,+\infty[$ et concave sur $]0{,}2[$.

💡 Astuce mémo

Signe de f'' → variation de f' → convexité de f

📖 4. Fonctions composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Si v est définie sur un intervalle I, u est définie sur un intervalle J et u(x) appartient à J pour tout x appartenant à I, la composée de u par v est la fonction v∘u définie par $$(v\circ u)(x)=v(u(x))$

📝 Points essentiels

• Avec u(x)=x^4+1, la fonction √(x^4+1) est la composée de u par v(x)=√x, et la fonction (x^4+1)^5 est la composée de u par v(x)=x^5.

💡 Astuce mémo

Une fonction transforme x, puis une seconde transforme le résultat

📖 5. Dérivation des fonctions composées

★ À maîtriser

📐 Formule — Si f=v∘u, avec u et v dérivables et u(x) dans le domaine de v, alors $f'=(v\circ u)'=u'\times(v'\circ u)$.

📐 Formule — Si u est strictement positive et dérivable sur I, alors $\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

📐 Formule — Pour un entier relatif non nul n, si u est dérivable et, lorsque n<0, ne s’annule pas sur I, alors $\left(u^n\right)'=n u'u^{n-1}$.

📐 Formule — Si u est dérivable sur I, alors $\left(e^u\right)'=u'e^u$.

Compléments

• Pour f(x)=√(x^4+1), avec u(x)=x^4+1 et u'(x)=4x^3, on obtient $f'(x)=\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+1}}$.

• Pour h(x)=e^{x^4+1}, on obtient $h'(x)=4x^3e^{x^4+1}$.

💡 Astuce mémo

Dériver l’extérieur, conserver l’intérieur, multiplier par sa dérivée

📖 6. Tangentes et point d’inflexion

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’inflexion : un point où la courbe traverse sa tangente, avec un changement de convexité en ce point

📝 Points essentiels

📌 Une fonction dérivable est convexe sur I si et seulement si sa courbe est au-dessus de ses tangentes sur I, et elle est concave si sa courbe est au-dessous de ses tangentes sur I.

• Comme f(x)=e^x vérifie f''(x)=e^x>0, elle est convexe et sa courbe est au-dessus de la tangente en 0, d’équation y=x+1, ce qui donne e^x≥x+1.

💡 Astuce mémo

Convexe au-dessus de ses tangentes ; concave au-dessous

📖 7. Dérivée seconde

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : la dérivée de f' lorsque f' est elle-même dérivable sur I

📊 Tableaux de synthèse

Convexité et dérivées