QCM : Dérivation et convexité — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les dérivées successives de f(x)=14x4−x3+6xf(x)=\frac14x^4-x^3+6x, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le terme 6x6x contribue par 66 dans la dérivée première.
La dérivée première est f′(x)=x3−3x2+6xf'(x)=x^3-3x^2+6x.
La dérivée seconde est f′′(x)=3x2−6f''(x)=3x^2-6.
La dérivée première est f′(x)=x3−3x2+6f'(x)=x^3-3x^2+6.
La dérivée seconde est f′′(x)=3x2−6xf''(x)=3x^2-6x.

Le terme $$6x$$ contribue par $$6$$ dans la dérivée première. · La dérivée première est $$f'(x)=x^3-3x^2+6$$. · La dérivée seconde est $$f''(x)=3x^2-6x$$.

Explication

La dérivation terme à terme de 14x4−x3+6x\frac14x^4-x^3+6x donne f′(x)=x3−3x2+6f'(x)=x^3-3x^2+6. Une seconde dérivation fournit f′′(x)=3x2−6xf''(x)=3x^2-6x; les autres expressions contiennent un coefficient ou un terme incorrect.

2. Concernant la définition géométrique d’une fonction convexe sur un intervalle II :

Ses tangentes sont situées au-dessus de sa courbe sur II.
Sa courbe est au-dessus de ses sécantes sur II.
Sa courbe coïncide avec toutes ses sécantes sur II.
Ses sécantes sont situées au-dessus de sa courbe sur II.
Sa courbe est au-dessous de ses sécantes sur II.

Sa courbe est au-dessus de ses sécantes sur $$I$$.

Explication

Par définition géométrique, une fonction convexe possède une courbe située au-dessus de ses sécantes sur l’intervalle considéré. La position au-dessous des sécantes caractérise la concavité, non la convexité.

3. Les caractéristiques géométriques d’une fonction concave sur un intervalle II comprennent :

Une évolution nécessairement linéaire sur II.
Des sécantes situées au-dessous de la courbe sur II.
Une courbe située au-dessous de ses sécantes sur II.
Une vitesse instantanée croissante sur II.
Une courbe située au-dessus de ses sécantes sur II.

Une courbe située au-dessous de ses sécantes sur $$I$$.

Explication

Une fonction concave est caractérisée par une courbe située au-dessous de ses sécantes. Être au-dessus des sécantes correspond à la convexité, et la vitesse instantanée n’est pas le critère définitoire demandé ici.

4. Pour une fonction deux fois dérivable sur un intervalle II, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’étude de la convexité commence par le signe de la dérivée première.
La convexité équivaut à une dérivée première décroissante sur II.
La concavité correspond à une dérivée seconde positive sur II.
La convexité équivaut à une dérivée seconde positive sur II.
La convexité équivaut à une dérivée première croissante sur II.

La convexité équivaut à une dérivée seconde positive sur $$I$$. · La convexité équivaut à une dérivée première croissante sur $$I$$.

Explication

Pour une fonction deux fois dérivable, la convexité équivaut à la croissance de f′f' et à la positivité de f′′f''. Une dérivée seconde négative caractérise la concavité, tandis que l’étude commence par le signe de f′′f''.

5. Au sujet du critère de concavité d’une fonction deux fois dérivable, quelles sont les réponses exactes ?

L’étude de la concavité commence par le signe de la dérivée première.
La concavité équivaut à une dérivée première décroissante sur II.
Une dérivée seconde positive caractérise la concavité sur II.
La concavité équivaut à une dérivée seconde négative sur II.
La concavité équivaut à une dérivée première croissante sur II.

La concavité équivaut à une dérivée première décroissante sur $$I$$. · La concavité équivaut à une dérivée seconde négative sur $$I$$.

Explication

La concavité équivaut à une dérivée première décroissante et à une dérivée seconde négative. Une dérivée seconde positive correspond à la convexité, tandis que l’étude des intervalles repose d’abord sur le signe de f′′f''.

6. Soit f′′(x)=3x2−6xf''(x)=3x^2-6x. Quelles sont les réponses exactes concernant la convexité et la concavité de ff ?

La fonction est concave sur ]0,2[]0,2[.
La fonction est convexe sur ]−∞,0[∪]2,+∞[]-\infty,0[\cup]2,+\infty[.
La dérivée seconde s’annule en −2-2 et en 00.
La fonction est concave sur ]−∞,0[∪]2,+∞[]-\infty,0[\cup]2,+\infty[.
La dérivée seconde se factorise en 3x(x−2)3x(x-2).

La fonction est concave sur $$]0,2[$$. · La fonction est convexe sur $$]-\infty,0[\cup]2,+\infty[$$. · La dérivée seconde se factorise en $$3x(x-2)$$.

Explication

On factorise f′′(x)=3x(x−2)f''(x)=3x(x-2), qui s’annule en 00 et 22. Son signe est positif à l’extérieur de ces valeurs et négatif entre elles, d’où la convexité sur les intervalles extérieurs et la concavité sur ]0,2[]0,2[.

7. Les règles de dérivation d’une racine composée comprennent :

La dérivée de u\sqrt{u} est u′u\frac{u'}{\sqrt{u}} sans facteur numérique.
La dérivée de u\sqrt{u} contient la dérivée u′u' de la fonction intérieure.
La formule de u\sqrt{u} s’applique lorsque uu est dérivable sur l’intervalle considéré.
La formule (u)′=u′2u\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}} lorsque uu est strictement positive.
La dérivée de u\sqrt{u} est 12u\frac{1}{2\sqrt{u}} sans tenir compte de u′u'.

La dérivée de $$\sqrt{u}$$ contient la dérivée $$u'$$ de la fonction intérieure. · La formule de $$\sqrt{u}$$ s’applique lorsque $$u$$ est dérivable sur l’intervalle considéré. · La formule $$\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$$ lorsque $$u$$ est strictement positive.

Explication

Pour une fonction intérieure strictement positive, la règle donne (u)′=u′2u\left(\sqrt{u}\right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}. Le facteur u′u' traduit la dérivation de la fonction intérieure et ne doit pas être omis.

8. Pour les exemples de dérivation de fonctions composées, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La dérivée de ex4+1e^{x^4+1} conserve le facteur exponentiel ex4+1e^{x^4+1}.
La dérivée de x4+1\sqrt{x^4+1} est 4x3x4+1\frac{4x^3}{\sqrt{x^4+1}}.
Pour f(x)=x4+1f(x)=\sqrt{x^4+1}, on obtient f′(x)=4x32x4+1f'(x)=\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+1}}.
Pour h(x)=ex4+1h(x)=e^{x^4+1}, le facteur issu de la fonction intérieure vaut 4x34x^3.
Pour h(x)=ex4+1h(x)=e^{x^4+1}, on obtient h′(x)=4x3ex4+1h'(x)=4x^3e^{x^4+1}.

La dérivée de $$e^{x^4+1}$$ conserve le facteur exponentiel $$e^{x^4+1}$$. · Pour $$f(x)=\sqrt{x^4+1}$$, on obtient $$f'(x)=\frac{4x^3}{2\sqrt{x^4+1}}$$. · Pour $$h(x)=e^{x^4+1}$$, le facteur issu de la fonction intérieure vaut $$4x^3$$. · Pour $$h(x)=e^{x^4+1}$$, on obtient $$h'(x)=4x^3e^{x^4+1}$$.

Explication

La dérivée de eue^u est u′euu'e^u. Pour u(x)=x4+1u(x)=x^4+1, on a u′(x)=4x3u'(x)=4x^3, d’où h′(x)=4x3ex4+1h'(x)=4x^3e^{x^4+1}.

9. Concernant le lien entre convexité et tangentes, quelles sont les réponses exactes au sujet de X ?

La position d’une courbe par rapport à ses tangentes caractérise sa convexité.
Une fonction convexe a sa courbe située au-dessus de ses tangentes.
Une fonction concave a sa courbe située au-dessus de ses tangentes.
Une fonction concave a sa courbe située au-dessous de ses tangentes.
Une fonction convexe a sa courbe située au-dessous de ses tangentes.

La position d’une courbe par rapport à ses tangentes caractérise sa convexité. · Une fonction convexe a sa courbe située au-dessus de ses tangentes. · Une fonction concave a sa courbe située au-dessous de ses tangentes.

Explication

Une fonction convexe possède une courbe située au-dessus de ses tangentes, tandis qu’une fonction concave possède une courbe située au-dessous de celles-ci. Cette caractérisation permet de distinguer les deux comportements.

10. Pour la fonction f(x)=exf(x)=e^x, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La courbe de exe^x est située au-dessous de sa tangente en 00.
La tangente à la courbe de exe^x en 00 a pour équation y=x+1y=x+1.
La convexité de exe^x donne l’inégalité ex≥x+1e^x\ge x+1.
La fonction exe^x est convexe car f′′(x)=ex>0f''(x)=e^x>0.
La dérivée seconde de exe^x est égale à −ex-e^x.

La tangente à la courbe de $$e^x$$ en $$0$$ a pour équation $$y=x+1$$. · La convexité de $$e^x$$ donne l’inégalité $$e^x\ge x+1$$. · La fonction $$e^x$$ est convexe car $$f''(x)=e^x>0$$.

Explication

Comme f′′(x)=ex>0f''(x)=e^x>0, la fonction exponentielle est convexe. Sa tangente en 00 est y=x+1y=x+1, et la courbe reste au-dessus, ce qui donne ex≥x+1e^x\ge x+1.

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Quelle est la dérivée première de f(x)=14x4−x3+6xf(x)=\frac{1}{4}x^4 - x^3 + 6x ?

f′(x)=x3−3x2+6f'(x)=x^3 - 3x^2 + 6

Quelle est la dérivée seconde de f(x)=14x4−x3+6xf(x)=\frac{1}{4}x^4 - x^3 + 6x ?

f′′(x)=3x2−6xf''(x)=3x^2 - 6x

Qu'est-ce qu'une fonction convexe sur un intervalle I ?

Sa courbe est au-dessus de ses sécantes sur I.

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