Dérivation et convexité

📋 Plan du Cours

1. Calcul des dérivées successives
2. Fonctions convexes et concaves
3. Signe de la dérivée seconde
4. Fonctions composées
5. Dérivation des fonctions composées
6. Tangentes et point d’inflexion
7. Dérivée seconde

📖 1. Calcul des dérivées successives

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour f(x) = 1/4 x^4 - x^3 + 6x, on a $f'(x)=x^3-3x^2+6$ et $f''(x)=3x^2-6x$.

💡 Astuce mémo

Fonction → dérivée première → dérivée seconde

📖 2. Fonctions convexes et concaves

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : au-dessus de ses sécantes sur un intervalle I
• Fonction concave : au-dessous de ses sécantes sur un intervalle I

📝 Points essentiels

📌 Une vitesse constante correspond à une évolution linéaire, une vitesse instantanée qui augmente illustre une fonction convexe, et une vitesse instantanée qui diminue illustre une fonction concave.

💡 Astuce mémo

Convexe : au-dessus des sécantes ; concave : au-dessous

📖 3. Signe de la dérivée seconde

📌 Pour une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I, f est convexe sur I si et seulement si f' est croissante sur I, si et seulement si f'' est positive sur I.