Fiche de révision : Dérivation et convexité

📋 Plan du Cours

1. Composition de fonctions
2. Dérivée d’une composée
3. Convexité et concavité
4. Convexité et dérivées
5. Tangentes et convexité
6. Points d’inflexion
7. Étude d’un exemple polynomial
8. Dérivée seconde et extrema

📖 1. Composition de fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition de fonctions : Fonction définie par (v∘u)(x)=v(u(x)) lorsque u est définie sur I à valeurs dans J et v est définie sur J.

★ À maîtriser

📌 La composition des fonctions est associative : w∘(v∘u)=(w∘v)∘u lorsque les compositions sont définies.

📌 La composition des fonctions n’est pas commutative en général : v∘u≠u∘v.

Compléments

• Si u(x)=2x−3 et v(x)=√x, alors v∘u est définie sur [2 ; +∞[ et vérifie (v∘u)(x)=√(2x−3).

• Pour u(x)=√x et v(x)=2x−3, on obtient (v∘u)(4)=1 tandis que (u∘v)(4)=√5, donc les deux compositions sont différentes.

💡 Astuce mémo

Dans v∘u, u agit d’abord puis v ; l’ordre inverse donne généralement un autre résultat.

📖 2. Dérivée d’une composée

★ À maîtriser

📐 Formule — Si u et v sont dérivables, alors la dérivée de leur composée vérifie $(v\circ u)'(x)=v'(u(x))\times u'(x).$

📐 Formule — Pour f(x)=u(ax+b), où a et b sont réels, on a $f'(x)=a\times u'(ax+b).$

📌 La composée de deux fonctions de même monotonie est croissante, tandis que la composée de deux fonctions de monotonies contraires est décroissante.

Compléments

• Pour u(x)=2x²−3 et v(x)=√x, la dérivée de v∘u est $(v\circ u)'(x)=\frac{2x}{\sqrt{2x^2-3}}.$

• Les dérivées usuelles composées comprennent $(u^n)'=nu^{n-1}u'$, $(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$, $(\cos u)'=-u'\sin u$, $(\sin u)'=u'\cos u$ et $(e^u)'=u'e^u$.

💡 Astuce mémo

Intérieur puis extérieur : u' avant v'(u).

📖 3. Convexité et concavité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : Fonction dont la courbe représentative est située au-dessous de la corde reliant deux points quelconques de la courbe.
• Fonction concave : Fonction dont la courbe représentative est située au-dessus de la corde reliant deux points quelconques de la courbe.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une fonction convexe, tous réels a,b de I et t∈[0;1], on a $f((1-t)a+tb)\le(1-t)f(a)+tf(b).$

📐 Formule — Pour une fonction concave, tous réels a,b de I et t∈[0;1], on a $f((1-t)a+tb)\ge(1-t)f(a)+tf(b).$

Compléments

• Le point de coordonnées ((1−t)x_A+tx_B ; (1−t)y_A+ty_B), avec t∈[0;1], appartient au segment [AB].

💡 Astuce mémo

Convexe : la courbe est sous ses cordes ; concave : elle est au-dessus.

📖 4. Convexité et dérivées

★ À maîtriser

📌 Une fonction est convexe sur I si et seulement si sa dérivée première est croissante sur I, et elle est concave si et seulement si sa dérivée première est décroissante sur I.

📌 Si f est deux fois dérivable, elle est convexe sur I si et seulement si f'' est positive sur I, et elle est concave si et seulement si f'' est négative sur I.

Compléments

• La fonction f(x)=|x| est convexe sur ℝ, mais sa dérivée seconde n’existe pas en x=0.

💡 Astuce mémo

f'' positive → f' croissante → f convexe ; f'' négative → f' décroissante → f concave.

📖 5. Tangentes et convexité

★ À maîtriser

📌 Si f est convexe sur I, sa courbe représentative est située au-dessus de ses tangentes.

Compléments

📌 Si f est concave sur I, sa courbe représentative est située en dessous de ses tangentes.

💡 Astuce mémo

Une courbe convexe reste au-dessus de ses tangentes, tandis qu’une courbe concave reste en dessous.

📖 6. Points d’inflexion

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’inflexion : Point de la courbe représentative où la courbe traverse sa tangente.

★ À maîtriser

📌 Pour qu’un point soit un point d’inflexion, il faut que f'' change de signe et que f' change de variation.

Compléments

• Pour la fonction cube, l’origine O(0;0) est un point d’inflexion, tandis que les points d’abscisses −1 et 1 ne le sont pas.

💡 Astuce mémo

Changement de signe de f'' → changement de courbure → traversée de la tangente.

📖 7. Étude d’un exemple polynomial

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour f(x)=x³+x⁴, on a $f'(x)=3x^2+4x^3=x^2(3+4x)$ et $f''(x)=6x+12x^2=6x(1+2x).$

• Pour étudier la convexité de f(x)=x³+x⁴, on calcule f'', on cherche ses zéros, on étudie son signe sur les intervalles déterminés, puis on vérifie la traversée de la tangente.

• Pour f(x)=x³+x⁴, f'' change de signe en x=0 et en x=−1/2, mais seul x=0 correspond à un point d’inflexion selon la vérification de la tangente.

Compléments

• Pour f(x)=x³+x⁴, f''(x)=0 si et seulement si x=0 ou x=−1/2.

💡 Astuce mémo

Calculer f'', repérer ses zéros, étudier son signe, puis vérifier la traversée de la tangente.

📖 8. Dérivée seconde et extrema

★ À maîtriser

📌 Si f'(x₀)=0 et f''(x₀)>0, alors f(x₀) est un minimum local.

📌 Si f'(x₀)=0 et f''(x₀)<0, alors f(x₀) est un maximum local.

• Dans l’exemple f(x)=x³−3x²−24x+12, f''(4)=18>0 donne un minimum local en x₁=4 et f''(−2)=−18<0 donne un maximum local en x₂=−2.

Compléments

• Pour f(x)=x³−3x²−24x+12, f'(x)=3x²−6x−24 s’annule en x₁=4 et x₂=−2, et f''(x)=6x−6.

💡 Astuce mémo

f''(x₀)>0 donne un minimum local ; f''(x₀)<0 donne un maximum local.

📊 Tableaux de synthèse

Convexité et concavité