Comment se définit la composée v∘u d'après la composition de fonctions ?
(v∘u)(x)=v(u(x)) lorsqu'u est définie sur I à valeurs dans J et v sur J.
Quelle propriété associative vérifie la composition des fonctions ?
w∘(v∘u)=(w∘v)∘u lorsque les compositions sont définies.
La composition des fonctions est-elle commutative en général ?
Non, v∘u≠u∘v en général.
Quelle est la formule de la dérivée de la composée ?
Comment dérive-t-on $f(x)=u(ax+b)$ avec $a,b$ réels ?
Que devient la monotonie de la composée de deux fonctions de même monotonie ?
Elle est croissante.
Que devient la monotonie de la composée de deux fonctions de monotonies contraires ?
Elle est décroissante.
Qu'est-ce qu'une fonction convexe sur un intervalle I ?
Sa courbe est sous la corde entre deux points d'abscisses dans I.
Qu'est-ce qu'une fonction concave sur un intervalle I ?
Sa courbe est au-dessus de la corde entre deux points d'abscisses dans I.
Quelle inégalité caractérise une fonction convexe pour a,b dans I et t dans [0;1] ?
Quelle inégalité caractérise une fonction concave pour a,b dans I et t dans [0;1] ?
Quelle condition sur la dérivée première caractérise une fonction convexe sur I ?
Sa dérivée première est croissante sur I.
Quelle condition sur la dérivée première caractérise une fonction concave sur I ?
Sa dérivée première est décroissante sur I.
Quelle condition sur la dérivée seconde caractérise une fonction convexe sur I ?
La dérivée seconde est positive sur I.
Quelle condition sur la dérivée seconde caractérise une fonction concave sur I ?
La dérivée seconde est négative sur I.
Que se passe-t-il si f est convexe sur I concernant sa courbe et ses tangentes ?
La courbe est au-dessus de ses tangentes.
Qu'est-ce qu'un point d'inflexion sur la courbe de f ?
Un point où la courbe traverse sa tangente.
Quelles conditions doivent être remplies pour qu'un point soit un point d'inflexion ?
f'' change de signe et f' change de variation.
Quelle est la dérivée première de f(x)=x³+x⁴ ?
Quelle est la dérivée seconde de f(x)=x³+x⁴ ?
Quelles étapes suit-on pour étudier la convexité de f(x)=x³+x⁴ ?
Calculer f'', chercher ses zéros, étudier son signe, vérifier la traversée de la tangente.
En quels points f'' change-t-elle de signe pour f(x)=x³+x⁴ ?
En x=0 et en .
Quel point est un point d'inflexion pour f(x)=x³+x⁴ ?
Seul x=0 est un point d'inflexion.
Quelle condition sur f''(x₀) indique un minimum local si f'(x₀)=0 ?
f''(x₀) est strictement positive.
Quelle condition sur f''(x₀) indique un maximum local si f'(x₀)=0 ?
f''(x₀) est strictement négative.
Que vaut f''(4) et quel extremum cela indique-t-il ?
f''(4)=18>0, donc un minimum local en x=4.
Que vaut f''(−2) et quel extremum cela indique-t-il ?
f''(−2)=−18<0, donc un maximum local en x=−2.
Sur quel intervalle est définie v∘u si u(x)=2x−3 et v(x)=√x ?
Sur l'intervalle [2 ; +∞[.
Quelle est l'expression de (v∘u)(x) pour u(x)=2x−3 et v(x)=√x ?
(v∘u)(x)=√(2x−3).
Que vaut (v∘u)(4) pour u(x)=√x et v(x)=2x−3 ?
(v∘u)(4)=1.
Que vaut (u∘v)(4) pour u(x)=√x et v(x)=2x−3 ?
(u∘v)(4)=√5.
Que montre l'exemple avec u(x)=√x et v(x)=2x−3 sur les compositions ?
Les deux compositions (v∘u)(4) et (u∘v)(4) sont différentes.
Quelle est la dérivée de $v\circ u$ pour $u(x)=2x^2-3$ et $v(x)=\sqrt{x}$ ?
Quelle est la dérivée de $(u^n)$ composée ?
$(u^n)'=nu^{n-1}u'$
Quelle est la dérivée de $(\sqrt{u})$ composée ?
$(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$
Quelle est la dérivée de $(e^u)$ composée ?
$(e^u)'=u'e^u$
À quel ensemble appartient le point de coordonnées avec t dans [0;1] ?
Au segment [AB].
Quelle est la convexité de la fonction f(x)=|x| sur ℝ ?
Elle est convexe sur ℝ.
La dérivée seconde de f(x)=|x| existe-t-elle en x=0 ?
Non, elle n'existe pas en x=0.
Que se passe-t-il si f est concave sur I concernant sa courbe et ses tangentes ?
La courbe est en dessous de ses tangentes.
Quel point est un point d'inflexion pour la fonction cube ?
L'origine O(0;0).
Pour quelles valeurs de x a-t-on f''(x)=0 pour f(x)=x³+x⁴ ?
Pour x=0 ou .
Quelles sont les racines de f'(x)=3x²−6x−24 pour f(x)=x³−3x²−24x+12 ?
x=4 et x=−2.
Quelle est l'expression de f''(x) pour f(x)=x³−3x²−24x+12 ?
f''(x)=6x−6.
Teste tes connaissances avec un QCM de 22 questions sur Dérivation et convexité.
1. Si est définie sur à valeurs dans et est définie sur , comment s’écrit la composée ?
2. Quelle égalité exprime l’associativité de la composition des fonctions lorsque toutes les compositions sont définies ?
Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Dérivation et convexité.
Voir la fiche →Importe ton cours et l'IA génère des flashcards en 30 secondes.
Générateur de flashcards