QCM : Dérivation et convexité — 22 questions

Question 1

1. Si $u$ est définie sur $I$ à valeurs dans $J$ et $v$ est définie sur $J$ , comment s’écrit la composée $v\circ u$ ?

(v\circ u)(x)=v(x)u(x)

(v\circ u)(x)=v(u(x))

(v\circ u)(x)=u(v(x))

(v\circ u)(x)=v(x)+u(x)

Explication

La composée $v\circ u$ consiste à appliquer d’abord $u$ , puis $v$ au résultat obtenu. L’expression $u(v(x))$ décrit au contraire la composée $u\circ v$ .

Answer

$$(v\circ u)(x)=v(u(x))$$

Question 2

2. Quelle égalité exprime l’associativité de la composition des fonctions lorsque toutes les compositions sont définies ?

w\circ(v\circ u)=(w\circ v)\circ u

w\circ(v\circ u)=(u\circ v)\circ w

w\circ(v\circ u)=u\circ(v\circ w)

w\circ(v\circ u)=v\circ(w\circ u)

Explication

L’associativité permet de modifier le regroupement des fonctions sans changer leur ordre d’application. Les autres égalités modifient cet ordre et ne constituent pas la règle d’associativité.

Answer

$$w\circ(v\circ u)=(w\circ v)\circ u$$

Question 3

3. Quelle propriété décrit correctement la composition de deux fonctions dans le cas général ?

Elle est commutative lorsque les fonctions ont le même domaine.

Elle n’est pas commutative en général.

Elle devient commutative lorsque les fonctions sont dérivables.

Elle est commutative dès que les fonctions sont définies.

Explication

En général, l’ordre des fonctions intervient dans leur composition, de sorte que $v\circ u$ et $u\circ v$ peuvent être différents. La dérivabilité ou le domaine commun ne suffit pas à rendre ces compositions égales.

Answer

Elle n’est pas commutative en général.

Question 4

4. Si $u$ et $v$ sont dérivables, quelle formule donne la dérivée de leur composée ?

(v\circ u)'(x)=v'(x)\times u'(x)

(v\circ u)'(x)=v(u'(x))\times u'(x)

(v\circ u)'(x)=v'(u(x))\times u'(x)

(v\circ u)'(x)=v'(u'(x))\times u(x)

Explication

La règle de dérivation d’une composée évalue la dérivée extérieure en $u(x)$ , puis la multiplie par la dérivée intérieure $u'(x)$ . Utiliser $v'(x)$ ne tient pas compte de l’argument effectivement transmis à la fonction extérieure.

Answer

$$(v\circ u)'(x)=v'(u(x))\times u'(x)$$

Question 5

5. Pour $f(x)=u(ax+b)$ , où $a$ et $b$ sont réels, quelle est l’expression de $f'(x)$ ?

f'(x)=b\times u'(ax+b)

f'(x)=a\times u'(x+b)

f'(x)=u'(a x)+b

f'(x)=a\times u'(ax+b)

Explication

La dérivation de la fonction affine intérieure $ax+b$ fournit le facteur $a$ , tandis que la dérivée de $u$ est évaluée en $ax+b$ . Le coefficient $b$ ne provient pas de la dérivée de l’expression affine.

Answer

$$f'(x)=a\times u'(ax+b)$$

Question 6

6. Que peut-on déduire de la monotonie de la composée de deux fonctions ?

La composée est croissante dès qu’une des deux fonctions est croissante.

Deux monotonies identiques donnent une composée décroissante, et deux monotonies contraires une composée croissante.

La composée est décroissante dès qu’une des deux fonctions est décroissante.

Deux monotonies identiques donnent une composée croissante, et deux monotonies contraires une composée décroissante.

Explication

Deux variations dans le même sens se renforcent, tandis que deux variations de sens opposés inversent le sens global. La monotonie d’une seule fonction ne suffit donc pas à déterminer celle de la composée.

Answer

Deux monotonies identiques donnent une composée croissante, et deux monotonies contraires une composée décroissante.

Question 7

7. Comment caractérise-t-on géométriquement une fonction convexe sur un intervalle $I$ ?

Sa courbe est située au-dessus de toute corde reliant deux points de la courbe.

Sa courbe est située au-dessous de toute corde reliant deux points de la courbe.

Sa courbe coupe chaque corde reliant deux points de la courbe en son milieu.

Sa courbe est située sur toutes les cordes reliant deux points de la courbe.

Explication

Une fonction convexe possède une courbe placée sous les cordes déterminées par deux de ses points. La position au-dessus des cordes correspond à la caractérisation géométrique de la concavité.

Answer

Sa courbe est située au-dessous de toute corde reliant deux points de la courbe.

Question 8

8. Comment caractérise-t-on géométriquement une fonction concave sur un intervalle $I$ ?

Sa courbe contient le milieu de chaque corde reliant deux points de la courbe.

Sa courbe est située au-dessous de toute corde reliant deux points de la courbe.

Sa courbe est parallèle à toute corde reliant deux points de la courbe.

Sa courbe est située au-dessus de toute corde reliant deux points de la courbe.

Explication

Pour une fonction concave, la courbe se trouve au-dessus de la corde reliant deux points quelconques de cette courbe. La position au-dessous des cordes caractérise plutôt une fonction convexe.

Answer

Sa courbe est située au-dessus de toute corde reliant deux points de la courbe.

Question 9

9. Quelle inégalité traduit la convexité d’une fonction pour $a,b\in I$ et $t\in[0;1]$ ?

f((1-t)a+tb)\le(1-t)f(a)-tf(b)

f((1-t)a+tb)\le(1-t)f(a)+tf(b)

f((1-t)a+tb)=(1-t)f(a)-tf(b)

f((1-t)a+tb)\ge(1-t)f(a)+tf(b)

Explication

La convexité signifie que la valeur de la fonction au point intermédiaire est inférieure ou égale à la combinaison affine des valeurs aux extrémités. L’inégalité avec le signe opposé correspond à la concavité.

Answer

$$f((1-t)a+tb)\le(1-t)f(a)+tf(b)$$

Question 10

10. Quelle inégalité traduit la concavité d’une fonction pour $a,b\in I$ et $t\in[0;1]$ ?

f((1-t)a+tb)\le(1-t)f(a)+tf(b)

f((1-t)a+tb)\ge(1-t)f(a)-tf(b)

f((1-t)a+tb)\ge(1-t)f(a)+tf(b)

f((1-t)a+tb)=(1-t)f(a)-tf(b)

Explication

Pour une fonction concave, la valeur au point intermédiaire est supérieure ou égale à la moyenne affine des valeurs aux extrémités. Le signe inférieur ou égal est celui de l’inégalité caractérisant la convexité.

Answer

$$f((1-t)a+tb)\ge(1-t)f(a)+tf(b)$$

Question 11

11. Comment caractérise-t-on la convexité d’une fonction dérivable sur un intervalle $I$ à l’aide de sa dérivée première ?

Sa dérivée première est croissante sur

I

.

Sa dérivée première s’annule en tout point de

I

.

Sa dérivée première est décroissante sur

I

.

Sa dérivée première est constante sur

I

.

Explication

Une fonction dérivable est convexe sur $I$ lorsque sa dérivée première y est croissante. Une dérivée première décroissante caractérise plutôt la concavité.

Answer

Sa dérivée première est croissante sur $$I$$.

Question 12

12. Si une fonction deux fois dérivable vérifie $f''(x)<0$ sur un intervalle $I$ , quelle propriété possède-t-elle sur cet intervalle ?

Elle est convexe sur

I

.

Elle est concave sur

I

.

Elle est constante sur

I

.

Elle change de convexité sur

I

.

Explication

Une dérivée seconde négative sur $I$ caractérise une fonction concave sur cet intervalle. La convexité correspond au cas où $f''$ est positive.

Answer

Elle est concave sur $$I$$.

Question 13

13. Une fonction est convexe sur un intervalle $I$ . Où se situe alors sa courbe représentative par rapport à ses tangentes ?

Elle traverse chaque tangente en deux points.

Elle se situe en dessous de ses tangentes.

Elle se situe au-dessus de ses tangentes.

Elle reste parallèle à chacune de ses tangentes.

Explication

Pour une fonction convexe, la courbe représentative est située au-dessus de ses tangentes sur l’intervalle considéré. La position en dessous des tangentes correspond à la concavité.

Answer

Elle se situe au-dessus de ses tangentes.

Question 14

14. Une courbe représentative est située en dessous de ses tangentes sur un intervalle. Quelle propriété de la fonction cela indique-t-il ?

La fonction est convexe sur cet intervalle.

La fonction est concave sur cet intervalle.

La fonction possède une dérivée seconde positive sur cet intervalle.

La fonction est constante sur cet intervalle.

Explication

Une courbe située sous ses tangentes caractérise une fonction concave. Une fonction convexe présente au contraire une courbe située au-dessus de ses tangentes.

Answer

La fonction est concave sur cet intervalle.

Question 15

15. Quelle condition géométrique définit un point d’inflexion d’une courbe représentative ?

La courbe est parallèle à l’axe des abscisses en ce point.

La courbe atteint un maximum local en ce point.

La courbe rencontre l’axe des ordonnées en ce point.

La courbe traverse sa tangente en ce point.

Explication

Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente. Un maximum local concerne les variations de la fonction, mais ne définit pas un point d’inflexion.

Answer

La courbe traverse sa tangente en ce point.

Question 16

16. Quelle évolution des dérivées est nécessaire pour qu’un point soit un point d’inflexion ?

La dérivée première s’annule et la dérivée seconde reste négative.

La dérivée seconde devient nulle sans modifier les variations de la dérivée première.

La dérivée seconde reste positive et la dérivée première reste croissante.

La dérivée seconde change de signe et la dérivée première change de variation.

Explication

Un point d’inflexion nécessite un changement de signe de $f''$ , associé à un changement de variation de $f'$ . La seule annulation de la dérivée seconde ne suffit pas à établir cette propriété.

Answer

La dérivée seconde change de signe et la dérivée première change de variation.

Question 17

17. Pour la fonction $f(x)=x^3+x^4$ , quelles expressions donnent respectivement sa dérivée première et sa dérivée seconde ?

f'(x)=x(3+4x)

et

f''(x)=6(1+2x)

f'(x)=x^3(3+4x)

et

f''(x)=6x^2(1+2x)

f'(x)=6x(1+2x)

et

f''(x)=x^2(3+4x)

f'(x)=x^2(3+4x)

et

f''(x)=6x(1+2x)

Explication

La dérivation terme à terme donne $f'(x)=3x^2+4x^3=x^2(3+4x)$ , puis $f''(x)=6x+12x^2=6x(1+2x)$ . L’expression de la dérivée seconde ne décrit pas les variations directement, car celles-ci sont étudiées à partir de la dérivée première.

Answer

$$f'(x)=x^2(3+4x)$$ et $$f''(x)=6x(1+2x)$$

Question 18

18. Quelle démarche permet d’étudier correctement la convexité de $f(x)=x^3+x^4$ ?

Calculer

f''

, résoudre l’équation

f''=0

puis conclure sans examiner la tangente

Étudier directement les variations de

f

puis déduire sa convexité à partir des extrema

Calculer

f''

, repérer ses zéros, étudier son signe puis vérifier la traversée de la tangente

Calculer

f'

, repérer ses zéros, étudier son signe puis conclure sur les points d’inflexion

Explication

L’étude de la convexité exige l’analyse du signe de $f''$ sur les intervalles concernés, complétée par la vérification de la traversée de la tangente. Le seul changement de signe de $f''$ suggère une variation de courbure, mais ne suffit pas à confirmer un point d’inflexion.

Answer

Calculer $$f''$$, repérer ses zéros, étudier son signe puis vérifier la traversée de la tangente

Question 19

19. Pour $f(x)=x^3+x^4$ , quel point parmi les valeurs annulant $f''$ est un point d’inflexion après vérification de la tangente ?

Aucun des deux points d’abscisses considérés

Les deux points d’abscisses

x=0

et

x=-\frac{1}{2}

Le point d’abscisse

x=-\frac{1}{2}

Le point d’abscisse

x=0

Explication

La dérivée seconde change de signe en $x=0$ et en $x=-\frac{1}{2}$ , mais la traversée de la tangente confirme un point d’inflexion uniquement pour $x=0$ . L’annulation de $f''$ ne garantit donc pas à elle seule cette conclusion.

Answer

Le point d’abscisse $$x=0$$

Question 20

20. Si une fonction vérifie $f'(x_0)=0$ et $f''(x_0)>0$ , quelle conclusion peut-on tirer ?

La fonction est décroissante au voisinage de

x_0

La fonction possède un maximum local en

x_0

La fonction possède un point d’inflexion en

x_0

La fonction possède un minimum local en

x_0

Explication

Lorsque la dérivée première s’annule et que la dérivée seconde est positive, la courbure locale correspond à un minimum local. Une dérivée seconde négative dans les mêmes conditions conduirait plutôt à un maximum local.

Answer

La fonction possède un minimum local en $$x_0$$

Question 21

21. Si $f'(x_0)=0$ et $f''(x_0)<0$ , quel type d’extremum local apparaît en $x_0$ ?

Un maximum local

Un minimum local

Un point d’inflexion

Une absence d’extremum local

Explication

Une dérivée seconde négative au point critique indique que la fonction est courbée vers le bas et qu’elle y atteint un maximum local. Le minimum local correspond à la situation où la dérivée seconde est positive.

Answer

Un maximum local

Question 22

22. Dans l’étude de $f(x)=x^3-3x^2-24x+12$ , quelle association entre les abscisses critiques et les extrema locaux est correcte ?

x=4

correspond à un minimum local et

x=-2

à un maximum local

x=4

correspond à un maximum local et

x=-2

à un minimum local

Les deux abscisses correspondent à des minima locaux distincts

Les deux abscisses correspondent à des maxima locaux distincts

Explication

On a $f''(4)=18>0$ , ce qui donne un minimum local en $x=4$ , tandis que $f''(-2)=-18<0$ donne un maximum local en $x=-2$ . Les signes opposés de la dérivée seconde distinguent donc les deux types d’extremum.

Answer

$$x=4$$ correspond à un minimum local et $$x=-2$$ à un maximum local

QCM : Dérivation et convexité — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Si $u$ est définie sur $I$ à valeurs dans $J$ et $v$ est définie sur $J$ , comment s’écrit la composée $v\circ u$ ?

2. Quelle égalité exprime l’associativité de la composition des fonctions lorsque toutes les compositions sont définies ?

3. Quelle propriété décrit correctement la composition de deux fonctions dans le cas général ?

4. Si $u$ et $v$ sont dérivables, quelle formule donne la dérivée de leur composée ?

5. Pour $f(x)=u(ax+b)$ , où $a$ et $b$ sont réels, quelle est l’expression de $f'(x)$ ?

6. Que peut-on déduire de la monotonie de la composée de deux fonctions ?

7. Comment caractérise-t-on géométriquement une fonction convexe sur un intervalle $I$ ?

8. Comment caractérise-t-on géométriquement une fonction concave sur un intervalle $I$ ?

9. Quelle inégalité traduit la convexité d’une fonction pour $a,b\in I$ et $t\in[0;1]$ ?

10. Quelle inégalité traduit la concavité d’une fonction pour $a,b\in I$ et $t\in[0;1]$ ?

11. Comment caractérise-t-on la convexité d’une fonction dérivable sur un intervalle $I$ à l’aide de sa dérivée première ?

12. Si une fonction deux fois dérivable vérifie $f''(x)<0$ sur un intervalle $I$ , quelle propriété possède-t-elle sur cet intervalle ?

13. Une fonction est convexe sur un intervalle $I$ . Où se situe alors sa courbe représentative par rapport à ses tangentes ?

14. Une courbe représentative est située en dessous de ses tangentes sur un intervalle. Quelle propriété de la fonction cela indique-t-il ?

15. Quelle condition géométrique définit un point d’inflexion d’une courbe représentative ?

16. Quelle évolution des dérivées est nécessaire pour qu’un point soit un point d’inflexion ?

17. Pour la fonction $f(x)=x^3+x^4$ , quelles expressions donnent respectivement sa dérivée première et sa dérivée seconde ?

18. Quelle démarche permet d’étudier correctement la convexité de $f(x)=x^3+x^4$ ?

19. Pour $f(x)=x^3+x^4$ , quel point parmi les valeurs annulant $f''$ est un point d’inflexion après vérification de la tangente ?

20. Si une fonction vérifie $f'(x_0)=0$ et $f''(x_0)>0$ , quelle conclusion peut-on tirer ?

21. Si $f'(x_0)=0$ et $f''(x_0)<0$ , quel type d’extremum local apparaît en $x_0$ ?

22. Dans l’étude de $f(x)=x^3-3x^2-24x+12$ , quelle association entre les abscisses critiques et les extrema locaux est correcte ?

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QCM : Dérivation et convexité — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Si uuu est définie sur III à valeurs dans JJJ et vvv est définie sur JJJ, comment s’écrit la composée v∘uv\circ uv∘u ?

2. Quelle égalité exprime l’associativité de la composition des fonctions lorsque toutes les compositions sont définies ?

3. Quelle propriété décrit correctement la composition de deux fonctions dans le cas général ?

4. Si uuu et vvv sont dérivables, quelle formule donne la dérivée de leur composée ?

5. Pour f(x)=u(ax+b)f(x)=u(ax+b)f(x)=u(ax+b), où aaa et bbb sont réels, quelle est l’expression de f′(x)f'(x)f′(x) ?

6. Que peut-on déduire de la monotonie de la composée de deux fonctions ?

7. Comment caractérise-t-on géométriquement une fonction convexe sur un intervalle III ?

8. Comment caractérise-t-on géométriquement une fonction concave sur un intervalle III ?

9. Quelle inégalité traduit la convexité d’une fonction pour a,b∈Ia,b\in Ia,b∈I et t∈[0;1]t\in[0;1]t∈[0;1] ?

10. Quelle inégalité traduit la concavité d’une fonction pour a,b∈Ia,b\in Ia,b∈I et t∈[0;1]t\in[0;1]t∈[0;1] ?

11. Comment caractérise-t-on la convexité d’une fonction dérivable sur un intervalle III à l’aide de sa dérivée première ?

12. Si une fonction deux fois dérivable vérifie f′′(x)<0f''(x)<0f′′(x)<0 sur un intervalle III, quelle propriété possède-t-elle sur cet intervalle ?

13. Une fonction est convexe sur un intervalle III. Où se situe alors sa courbe représentative par rapport à ses tangentes ?

14. Une courbe représentative est située en dessous de ses tangentes sur un intervalle. Quelle propriété de la fonction cela indique-t-il ?

15. Quelle condition géométrique définit un point d’inflexion d’une courbe représentative ?

16. Quelle évolution des dérivées est nécessaire pour qu’un point soit un point d’inflexion ?

17. Pour la fonction f(x)=x3+x4f(x)=x^3+x^4f(x)=x3+x4, quelles expressions donnent respectivement sa dérivée première et sa dérivée seconde ?

18. Quelle démarche permet d’étudier correctement la convexité de f(x)=x3+x4f(x)=x^3+x^4f(x)=x3+x4 ?

19. Pour f(x)=x3+x4f(x)=x^3+x^4f(x)=x3+x4, quel point parmi les valeurs annulant f′′f''f′′ est un point d’inflexion après vérification de la tangente ?

20. Si une fonction vérifie f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0​)=0 et f′′(x0)>0f''(x_0)>0f′′(x0​)>0, quelle conclusion peut-on tirer ?

21. Si f′(x0)=0f'(x_0)=0f′(x0​)=0 et f′′(x0)<0f''(x_0)<0f′′(x0​)<0, quel type d’extremum local apparaît en x0x_0x0​ ?

22. Dans l’étude de f(x)=x3−3x2−24x+12f(x)=x^3-3x^2-24x+12f(x)=x3−3x2−24x+12, quelle association entre les abscisses critiques et les extrema locaux est correcte ?

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1. Si $u$ est définie sur $I$ à valeurs dans $J$ et $v$ est définie sur $J$ , comment s’écrit la composée $v\circ u$ ?

4. Si $u$ et $v$ sont dérivables, quelle formule donne la dérivée de leur composée ?

5. Pour $f(x)=u(ax+b)$ , où $a$ et $b$ sont réels, quelle est l’expression de $f'(x)$ ?

7. Comment caractérise-t-on géométriquement une fonction convexe sur un intervalle $I$ ?

8. Comment caractérise-t-on géométriquement une fonction concave sur un intervalle $I$ ?

9. Quelle inégalité traduit la convexité d’une fonction pour $a,b\in I$ et $t\in[0;1]$ ?

10. Quelle inégalité traduit la concavité d’une fonction pour $a,b\in I$ et $t\in[0;1]$ ?

11. Comment caractérise-t-on la convexité d’une fonction dérivable sur un intervalle $I$ à l’aide de sa dérivée première ?

12. Si une fonction deux fois dérivable vérifie $f''(x)<0$ sur un intervalle $I$ , quelle propriété possède-t-elle sur cet intervalle ?

13. Une fonction est convexe sur un intervalle $I$ . Où se situe alors sa courbe représentative par rapport à ses tangentes ?

17. Pour la fonction $f(x)=x^3+x^4$ , quelles expressions donnent respectivement sa dérivée première et sa dérivée seconde ?

18. Quelle démarche permet d’étudier correctement la convexité de $f(x)=x^3+x^4$ ?

19. Pour $f(x)=x^3+x^4$ , quel point parmi les valeurs annulant $f''$ est un point d’inflexion après vérification de la tangente ?

20. Si une fonction vérifie $f'(x_0)=0$ et $f''(x_0)>0$ , quelle conclusion peut-on tirer ?

21. Si $f'(x_0)=0$ et $f''(x_0)<0$ , quel type d’extremum local apparaît en $x_0$ ?

22. Dans l’étude de $f(x)=x^3-3x^2-24x+12$ , quelle association entre les abscisses critiques et les extrema locaux est correcte ?