★ À maîtriser
📌 La composition des fonctions est associative : w∘(v∘u)=(w∘v)∘u lorsque les compositions sont définies.
📌 La composition des fonctions n’est pas commutative en général : v∘u≠u∘v.
Compléments
Si u(x)=2x−3 et v(x)=√x, alors v∘u est définie sur [2 ; +∞[ et vérifie (v∘u)(x)=√(2x−3).
Pour u(x)=√x et v(x)=2x−3, on obtient (v∘u)(4)=1 tandis que (u∘v)(4)=√5, donc les deux compositions sont différentes.
Dans v∘u, u agit d’abord puis v ; l’ordre inverse donne généralement un autre résultat.
📐 Formule — Si u et v sont dérivables, alors la dérivée de leur composée vérifie
1. Si est définie sur à valeurs dans et est définie sur , comment s’écrit la composée ?
2. Quelle égalité exprime l’associativité de la composition des fonctions lorsque toutes les compositions sont définies ?
3. Quelle propriété décrit correctement la composition de deux fonctions dans le cas général ?
Comment se définit la composée v∘u d'après la composition de fonctions ?
(v∘u)(x)=v(u(x)) lorsqu'u est définie sur I à valeurs dans J et v sur J.
Quelle propriété associative vérifie la composition des fonctions ?
w∘(v∘u)=(w∘v)∘u lorsque les compositions sont définies.
La composition des fonctions est-elle commutative en général ?
Non, v∘u≠u∘v en général.
Quelle est la formule de la dérivée de la composée ?
Comment dérive-t-on $f(x)=u(ax+b)$ avec $a,b$ réels ?
Que devient la monotonie de la composée de deux fonctions de même monotonie ?
Elle est croissante.
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