Fiche de révision : Dérivation et fonctions usuelles

📋 Plan du Cours

1. Fonctions et propriétés fondamentales
2. Valeur absolue et distances
3. Limites et continuité
4. Asymptotes et dérivation
5. Dérivation des fonctions composées
6. Fonctions réciproques et limites
7. Variation et convexité
8. Méthode d’étude de fonction
9. Théorèmes fondamentaux
10. Exponentielle et logarithme
11. Fonctions circulaires réciproques
12. Fonctions hyperboliques

📖 1. Fonctions et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Associe à chaque élément x d’un ensemble de départ A au plus un élément y d’un ensemble d’arrivée B, avec f(x)=y ; y est l’image de x et x est un antécédent de y.
• Domaine de définition : Ensemble des nombres réels x pour lesquels f(x) existe.
• Parité : Une fonction définie sur un intervalle I est paire si −x appartient à I et f(−x)=f(x), et elle est impaire si −x appartient à I et f(−x)=−f(x).
• Composition de fonctions : Si f est définie sur I et si le domaine de g contient f(I), la composée g∘f est définie par (g∘f)(x)=g(f(x)).
• Fonction périodique : Une fonction f est périodique de période T non nul si, pour tout x de son domaine, x+T appartient au domaine et f(x+T)=f(x).
• Extremum : f(a) est un maximum de f sur I si f(x)≤f(a) pour tout x de I, et f(a) est un minimum si f(x)≥f(a) pour tout x de I.

📝 Points essentiels

• Les conditions usuelles sont:
  • un dénominateur non nul
  • un radicand de racine carrée positif ou nul
  • un argument de logarithme strictement positif

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ; impaire : symétrie par rapport à l’origine.

📖 2. Valeur absolue et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Sa distance à 0 et vaut x si x≥0 et −x si x<0.

★ À maîtriser

📌 Pour r≥0, |x−a|=r équivaut à x=a−r ou x=a+r, tandis que |x−a|≤r équivaut à a−r≤x≤a+r et |x−a|≥r équivaut à x≤a−r ou x≥a+r.

📌 L’équation |A|=|B| équivaut à A=B ou A=−B.

Compléments

📌 Pour tous réels x et y, |xy|=|x||y|, |x/y|=|x|/|y| si y≠0, |x|²=x², |xⁿ|=|x|ⁿ et |x+y|≤|x|+|y|.

💡 Astuce mémo

Un V centré en 0 représente la distance à l’origine.

📖 3. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Dire que f a pour limite le réel L en +∞ signifie que f(x) devient aussi proche de L que l’on veut lorsque x est suffisamment grand, ce qui se note $\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$.
• Continuité : Si sa limite en a est égale à f(a), c’est-à-dire si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

★ À maîtriser

📌 Une limite infinie en un réel a correspond à une asymptote verticale d’équation x=a, tandis qu’une limite finie L en ±∞ correspond à une asymptote horizontale d’équation y=L.

📌 Une fonction admet une limite L en a si et seulement si ses limites à gauche et à droite existent et sont toutes deux égales à L.

• Les formes indéterminées classiques sont:
  • ∞−∞
  • 0×∞
  • ∞/∞
  • 0/0

📌 À l’infini, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré et une fonction rationnelle a la même limite que le rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Compléments

• Pour appliquer le théorème des gendarmes, on encadre f entre g et h au voisinage de a, puis on vérifie que g et h ont la même limite L afin de conclure que f a aussi pour limite L.

💡 Astuce mémo

Limite infinie près de a → asymptote verticale ; limite finie à l’infini → asymptote horizontale.

📖 4. Asymptotes et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote affine : La droite y=mx+b est une asymptote affine de f si $\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-(mx+b)\right)=0$.
• Nombre dérivé : f est dérivable en a si la limite $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe et est finie ; cette limite est le nombre dérivé f′(a).
• Fonction réciproque : Si f est une bijection d’un intervalle I sur un intervalle J, sa réciproque f⁻¹ est l’application de J dans I telle que y=f(x) si et seulement si x=f⁻¹(y).

★ À maîtriser

📌 Le nombre dérivé f′(a) est le coefficient directeur de la tangente en a, dont l’équation est y=f′(a)(x−a)+f(a).

📐 Formule — Pour des fonctions dérivables u et v, on a $(u+v)'=u'+v',\quad (uv)'=u'v+uv',\quad (u^n)'=nu^{n-1}u',\quad \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.$

📐 Formule — Si f est dérivable en a et g est dérivable en f(a), alors la dérivée de la composée vérifie $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a).$

Compléments

📐 Formule — Les paramètres d’une asymptote affine se calculent par $m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}$ et $b=\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx)$.

📐 Formule — Si f est continue et strictement monotone sur I, dérivable en a avec f′(a)≠0, alors sa réciproque est dérivable en b=f(a) et vérifie $(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}.$

💡 Astuce mémo

Taux d’accroissement → nombre dérivé → pente de la tangente.

📖 5. Dérivation des fonctions composées

★ À maîtriser

📐 Formule — Si f est dérivable en a et g est dérivable en f(a), alors $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))f'(a)$ .

Compléments

• Pour h(x)=(2x+1)^5, la dérivée est $h'(x)=10(2x+1)^4$.

💡 Astuce mémo

Fonction extérieure puis fonction intérieure : g'(f(x)) × f'(x)

📖 6. Fonctions réciproques et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réciproque : La fonction réciproque f^{-1} d’une bijection f de I sur J vérifie, pour x dans I et y dans J, $y=f(x)\Longleftrightarrow x=f^{-1}(y)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La règle de L’Hôpital donne $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ uniquement pour les formes indéterminées 0/0 ou ∞/∞, si la limite du quotient des dérivées existe.

Compléments

• La règle de L’Hôpital donne $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$.

💡 Astuce mémo

Une réciproque échange les rôles de x et y ; L’Hôpital échange fonctions et dérivées

📖 7. Variation et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Convexité : Fonction deux fois dérivable telle que f''(x)≥0 et dont la courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes.
• Point d’inflexion : Point où f'' s’annule en changeant de signe et où la courbe change de convexité.

📝 Points essentiels

📌 Si f'(x)≥0 sur un intervalle, avec annulation seulement en des points isolés, alors f est croissante ; si f'(x)≤0, f est décroissante ; si f'(x)=0 partout, f est constante.

💡 Astuce mémo

Signe de f' → variations ; signe de f'' → convexité

📖 8. Méthode d’étude de fonction

★ À maîtriser

• 🔄 L’étude pratique d’une fonction suit ces étapes:
  1. Déterminer le domaine de définition
  2. Étudier la parité ou l’imparité
  3. Étudier la périodicité
  4. Déterminer les asymptotes horizontales, verticales et affines
  5. Calculer la dérivée et déterminer les points critiques
  6. Construire le tableau de variation
  7. Représenter graphiquement la fonction

Compléments

📐 Formule — Pour une asymptote affine $y=mx+b$, on obtient $m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x$ et $b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx)$.

💡 Astuce mémo

Domaine, symétries, périodicité, asymptotes, dérivée, variations, courbe

📖 9. Théorèmes fondamentaux

★ À maîtriser

📌 Si f est continue sur un intervalle et si d est compris entre f(a) et f(b), alors il existe au moins un c dans [a,b] tel que f(c)=d.

📌 Une fonction continue et strictement monotone sur [a,b] réalise une bijection sur l’intervalle compris entre f(a) et f(b), et chaque valeur intermédiaire possède un unique antécédent.

📐 Formule — Le théorème de Rolle affirme que si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b), alors il existe c dans ]a,b[ tel que $f'(c)=0$.

📐 Formule — Le théorème des accroissements finis affirme qu’il existe c dans ]a,b[ tel que $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$.

Compléments

• Comme f(x)=x^3+x−1 est continue sur [0,1], avec f(0)=−1 et f(1)=1, l’équation x^3+x−1=0 possède au moins une solution dans [0,1].

💡 Astuce mémo

TVI : existence ; bijection : unicité ; Rolle : pente nulle ; TAF : pente moyenne

📖 10. Exponentielle et logarithme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : Unique solution de l’équation différentielle $y'=y$ vérifiant f(0)=1.
• Logarithme népérien : Bijection réciproque de l’exponentielle, définie sur R^*_+ et à valeurs dans R.

★ À maîtriser

• La fonction exponentielle est continue, strictement croissante sur R, tend vers 0 en −∞ et vers +∞ en +∞, et réalise une bijection de R sur R^*_+.

📐 Formule — Pour tous réels x et y, $e^xe^y=e^{x+y}$, $(e^x)^y=e^{xy}$ et $e^0=1$, avec $e\approx2{,}71828$.

📐 Formule — Sur R^*_+, le logarithme est dérivable et $\ln'(x)=\frac1x$; il est continu, strictement croissant, tend vers +∞ en +∞ et vers −∞ en 0^+.

📐 Formule — Pour x,y>0, $\ln(xy)=\ln x+\ln y$, $\ln(x/y)=\ln x-\ln y$ et $\ln(x^p)=p\ln x$ pour p entier.

Compléments

📐 Formule — Pour tout entier naturel non nul n, $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0$.

💡 Astuce mémo

L’exponentielle domine les puissances à l’infini ; le logarithme leur est dominé

📖 11. Fonctions circulaires réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction tangente : Fonction définie par $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ pour x différent de π/2+kπ, avec k entier; elle est impaire et π-périodique.
• Fonction Arcsin : Bijection réciproque du sinus restreint à [−π/2,π/2], définie par $y=\operatorname{Arcsin}(x)\Longleftrightarrow x=\sin y$ pour x dans [−1,1].
• Fonction Arctan : Bijection réciproque de la tangente restreinte à ]−π/2,π/2[, définie sur R par $y=\operatorname{Arctan}(x)\Longleftrightarrow x=\tan y$.
• Fonction Arccos : Bijection réciproque du cosinus restreint à [0,π], définie par $y=\operatorname{Arccos}(x)\Longleftrightarrow x=\cos y$ pour x dans [−1,1].

★ À maîtriser

📐 Formule — Les fonctions sinus et cosinus sont 2π-périodiques, avec $\sin(x+2\pi)=\sin x$ et $\cos(x+2\pi)=\cos x$; le sinus est impair et le cosinus est pair.

📐 Formule — Pour tout réel x, $\sin'(x)=\cos x$ et $\cos'(x)=-\sin x$.

📐 Formule — Pour tous réels a et b, $\cos^2(a)+\sin^2(a)=1$, $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\sin(a+b)=\cos a\sin b+\cos b\sin a$.

📐 Formule — Sur ]−1,1[, $\operatorname{Arcsin}'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ et $\operatorname{Arccos}'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$.

Compléments

📐 Formule — Sur ]0,π/2[, la tangente est dérivable et $\tan'(x)=1+\tan^2(x)$; elle tend vers 0 en 0^+ et vers +∞ en (π/2)^−.

📐 Formule — La fonction Arctan est dérivable sur R et $\operatorname{Arctan}'(x)=\frac1{1+x^2}$.

💡 Astuce mémo

Sinus, cosinus et tangente deviennent bijectives après restriction de leur intervalle

📖 12. Fonctions hyperboliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions hyperboliques : Pour tout réel x, $\operatorname{Ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$ et $\operatorname{Sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$; Ch est paire et Sh est impaire.
• Fonction Th : Fonction définie par $\operatorname{Th}(x)=\frac{\operatorname{Sh}(x)}{\operatorname{Ch}(x)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$ et impaire.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout réel x, $\operatorname{Ch}'(x)=\operatorname{Sh}(x)$ et $\operatorname{Sh}'(x)=\operatorname{Ch}(x)$.

Compléments

📐 Formule — Pour tous réels a et b, $\operatorname{Ch}^2(a)-\operatorname{Sh}^2(a)=1$, $\operatorname{Ch}(a+b)=\operatorname{Ch}(a)\operatorname{Ch}(b)+\operatorname{Sh}(a)\operatorname{Sh}(b)$ et $\operatorname{Sh}(a+b)=\operatorname{Ch}(a)\operatorname{Sh}(b)+\operatorname{Ch}(b)\operatorname{Sh}(a)$.

📐 Formule — Pour tout réel x, $\operatorname{Th}'(x)=1-\operatorname{Th}^2(x)=\frac1{\operatorname{Ch}^2(x)}$.

💡 Astuce mémo

Ch est paire, Sh et Th sont impaires

📊 Tableaux de synthèse

Types de limites et asymptotes

Fonctions réciproques circulaires