QCM : Dérivation et fonctions usuelles — 38 questions

Question 1

1. Quelle condition caractérise le domaine de définition d’une fonction réelle ?

L’ensemble des réels qui possèdent exactement deux images

L’ensemble des nombres réels appartenant à l’ensemble d’arrivée

L’ensemble des réels pour lesquels la valeur de la fonction existe

L’ensemble des valeurs obtenues lorsque l’antécédent vaut zéro

Explication

Le domaine de définition regroupe les nombres réels pour lesquels l’expression de la fonction est définie. L’ensemble d’arrivée décrit les valeurs possibles des images et ne constitue pas le domaine.

Answer

L’ensemble des réels pour lesquels la valeur de la fonction existe

Question 2

2. Pour déterminer le domaine de définition de $f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{\ln(x+1)}$ , quelles conditions faut-il imposer ?

x>2

et

x>-1

avec

x\ne 0

x\le 2

et

x>-1

avec

x\ne 0

x\ge 2

et

x\ge -1

avec

x\ne 1

x\ge 2

et

x>-1

avec

x\ne 0

Explication

La racine impose $x-2\ge 0$ , le logarithme impose $x+1>0$ et son dénominateur exige $\ln(x+1)\ne0$ , donc $x\ne0$ . Les conditions doivent être réunies par intersection.

Answer

$$x\ge 2$$ et $$x>-1$$ avec $$x\ne 0$$

Question 3

3. La fonction $f$ vérifie-t-elle la propriété de parité si son domaine est symétrique par rapport à zéro et si $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ du domaine ?

Oui, elle est paire

Non, elle est périodique

Non, elle est constante

Oui, elle est impaire

Explication

Une fonction est paire lorsque son domaine contient avec chaque $x$ le nombre $-x$ et que les deux images sont égales. La relation $f(-x)=-f(x)$ caractériserait plutôt une fonction impaire.

Answer

Oui, elle est paire

Question 4

4. Si $f(x)=x^2+1$ et $g(x)=\sqrt{x}$ , quelle expression représente $(g\circ f)(x)$ ?

\sqrt{x^2}+1

x^2+1

(\sqrt{x})^2+1

\sqrt{x^2+1}

Explication

Dans $g\circ f$ , on applique d’abord $f$ puis $g$ , ce qui donne $g(f(x))=\sqrt{x^2+1}$ . L’expression $f(g(x))$ correspondrait à la composée dans l’ordre inverse.

Answer

$$\sqrt{x^2+1}$$

Question 5

5. Quelle interprétation géométrique correspond à la valeur absolue d’un réel $x$ ?

Le carré de sa distance à zéro

Son opposé lorsqu’il est positif

Sa distance à zéro sur la droite réelle

La distance entre

x

et son opposé

Explication

La valeur absolue mesure la distance entre $x$ et zéro, elle est donc positive ou nulle. Pour un nombre négatif, elle vaut son opposé, et non le nombre lui-même.

Answer

Sa distance à zéro sur la droite réelle

Question 6

6. Quelles sont les solutions de l’inéquation $|x-3|\le 2$ ?

x=1

ou

x=5

-5\le x\le -1

1\le x\le 5

x\le 1

ou

x\ge 5

Explication

L’inéquation exprime que la distance entre $x$ et $3$ est au plus $2$ , donc $3-2\le x\le3+2$ . Les valeurs situées à l’extérieur de cet intervalle correspondent à une distance au moins égale à $2$ .

Answer

$$1\le x\le 5$$

Question 7

7. Quelle équation obtient-on en transformant $|2x-1|=|x+4|$ selon la règle des valeurs absolues ?

2x-1=|x+4|

ou

x+4=|2x-1|

2x-1=x+4

et

2x-1=-(x+4)

2x-1=-(x+4)

et

2x-1=0

2x-1=x+4

ou

2x-1=-(x+4)

Explication

L’égalité $|A|=|B|$ équivaut à $A=B$ ou $A=-B$ , ce qui donne les deux équations proposées. Elles constituent deux cas alternatifs et non deux conditions à vérifier simultanément.

Answer

$$2x-1=x+4$$ ou $$2x-1=-(x+4)$$

Question 8

8. Que signifie $\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$ ?

La fonction se rapproche de

x

lorsque

x

devient suffisamment grand

La fonction atteint nécessairement un maximum égal à

L

Les valeurs de

f(x)

se rapprochent de

L

lorsque

x

devient suffisamment grand

La valeur de

f(x)

devient égale à

L

dès que

x

dépasse un seuil

Explication

Cette limite signifie que l’écart entre $f(x)$ et $L$ peut être rendu aussi petit que souhaité pour des valeurs suffisamment grandes de $x$ . Elle n’impose pas que la fonction atteigne exactement $L$ ni qu’elle possède un maximum.

Answer

Les valeurs de $$f(x)$$ se rapprochent de $$L$$ lorsque $$x$$ devient suffisamment grand

Question 9

9. Quelle asymptote est associée à une limite infinie lorsque $x$ tend vers un réel $a$ ?

Une asymptote verticale d’équation

y=a

Une asymptote horizontale d’équation

x=a

Une asymptote horizontale d’équation

y=a

Une asymptote verticale d’équation

x=a

Explication

Une limite infinie en $a$ indique que la courbe se rapproche de la droite verticale $x=a$ . Une limite finie lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ correspond plutôt à une asymptote horizontale.

Answer

Une asymptote verticale d’équation $$x=a$$

Question 10

10. Quand une fonction admet-elle une limite $L$ en un réel $a$ ?

Lorsque sa limite à gauche en

a

existe, même si celle de droite diffère

Lorsque ses limites à gauche et à droite en

a

existent et valent toutes deux

L

Lorsque la fonction vaut

L

en

a

, indépendamment des limites latérales

Lorsque l’une de ses limites latérales est infinie et l’autre vaut

L

Explication

L’existence de la limite en $a$ exige que les limites à gauche et à droite existent et coïncident avec la même valeur $L$ . La seule valeur $f(a)$ ne suffit pas à déterminer la limite.

Answer

Lorsque ses limites à gauche et à droite en $$a$$ existent et valent toutes deux $$L$$

Question 11

11. Que faut-il conclure face à une forme indéterminée telle que $\frac{0}{0}$ lors du calcul d’une limite ?

Il faut transformer l’expression avant de conclure

La limite diverge nécessairement vers l’infini

La fonction ne possède aucune limite en ce point

La limite est nécessairement égale à zéro

Explication

La forme $\frac{0}{0}$ signale que les informations obtenues ne suffisent pas et que l’expression doit être transformée. Elle ne prouve ni l’absence de limite ni une valeur particulière.

Answer

Il faut transformer l’expression avant de conclure

Question 12

12. Quelle condition caractérise une asymptote affine $y=mx+b$ d’une fonction $f$ lorsque $x$ tend vers l’infini ?

La différence

f(x)-(mx+b)

tend vers l’infini

Le quotient

f(x)/(mx+b)

tend vers zéro

Le quotient

f(x)/(mx+b)

tend vers un réel non nul

La différence

f(x)-(mx+b)

tend vers zéro

Explication

Une asymptote affine est définie par une différence entre la fonction et la droite qui tend vers zéro à l’infini. Le quotient n’est pas le critère utilisé pour définir cette asymptote.

Answer

La différence $$f(x)-(mx+b)$$ tend vers zéro

Question 13

13. Que représente la limite $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsqu’elle existe et reste finie ?

La limite de

f(x)

quand

x

tend vers l’infini

Le coefficient directeur d’une asymptote affine

Le nombre dérivé

f'(a)

La valeur de la fonction

f(a)

Explication

Cette limite est précisément la définition du nombre dérivé de $f$ en $a$ . La valeur $f(a)$ décrit la hauteur du point, tandis que les autres réponses concernent d’autres notions.

Answer

Le nombre dérivé $$f'(a)$$

Question 14

14. Quelle équation décrit la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

y=f'(x)(a-x)+f(a)

y=f(a)x+f'(a)

y=f'(a)(x-a)+f(a)

y=f(a)(x-a)+f'(a)

Explication

Le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente, et celle-ci passe par le point $\left(a,f(a)\right)$ . Les autres expressions ne garantissent pas cette pente et ce point de passage.

Answer

$$y=f'(a)(x-a)+f(a)$$

Question 15

15. Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$ , quelle formule donne la dérivée du quotient $u/v$ ?

\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{uv'-u'v}{v^2}

\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v}

\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v+uv'}{v^2}

\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

Explication

La règle du quotient associe au numérateur $u'v-uv'$ et au dénominateur $v^2$ . Le signe plus correspond à une autre règle, tandis que les deux autres formules modifient le signe ou la puissance du dénominateur.

Answer

$$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$$

Question 16

16. Si $f$ est dérivable en $a$ et $g$ en $f(a)$ , quelle expression donne la dérivée de $g\circ f$ en $a$ ?

g(f(a))f'(a)

g'(f'(a))f(a)

g'(a)f'(f(a))

g'(f(a))f'(a)

Explication

La règle de la chaîne évalue la dérivée extérieure en $f(a)$ , puis la multiplie par la dérivée intérieure en $a$ . Les autres expressions placent les arguments ou les valeurs fonctionnelles au mauvais endroit.

Answer

$$g'(f(a))f'(a)$$

Question 17

17. Pour $h(x)=(2x+1)^5$ , quelle est la dérivée correcte ?

h'(x)=2(2x+1)^4

h'(x)=10(2x+1)^4

h'(x)=5(2x+1)^4

h'(x)=10(2x+1)^5

Explication

La dérivation de la puissance donne un facteur $5(2x+1)^4$ , puis la dérivée de l’expression intérieure apporte le facteur $2$ . Les autres réponses oublient l’un de ces facteurs ou conservent une puissance incorrecte.

Answer

$$h'(x)=10(2x+1)^4$$

Question 18

18. Quelle relation caractérise la fonction réciproque d’une bijection $f$ de $I$ sur $J$ ?

y=f(x)\Longleftrightarrow x=f^{-1}(y)

x=f(y)\Longleftrightarrow y=f^{-1}(x)

y=f(x)\Longleftrightarrow x=\frac{1}{f(y)}

y=f(x)\Longleftrightarrow y=\frac{1}{f(x)}

Explication

La fonction réciproque échange les rôles de l’entrée et de la sortie : si $y=f(x)$ , alors $x=f^{-1}(y)$ . Elle ne désigne pas la fonction inverse $1/f$ , qui correspond à une autre opération.

Answer

$$y=f(x)\Longleftrightarrow x=f^{-1}(y)$$

Question 19

19. Dans quelle situation la règle de L’Hôpital peut-elle être appliquée à une limite de quotient ?

Lorsque le quotient présente la forme

1/0

et que la limite des dérivées existe

Lorsque le quotient présente la forme

0/0

ou

\infty/\infty

et que la limite des dérivées existe

Lorsque le quotient présente une limite finie non nulle sans étudier les dérivées

Lorsque le quotient présente la forme

0\times\infty

et que les fonctions sont continues

Explication

La règle de L’Hôpital concerne les formes indéterminées $0/0$ et $\infty/\infty$ , sous réserve de l’existence de la limite du quotient des dérivées. Les autres formes ne satisfont pas directement les conditions énoncées.

Answer

Lorsque le quotient présente la forme $$0/0$$ ou $$\infty/\infty$$ et que la limite des dérivées existe

Question 20

20. Si $f'(x)\geq 0$ sur un intervalle et ne s’annule qu’en des points isolés, quelle propriété peut-on attribuer à $f$ sur cet intervalle ?

La fonction est croissante

La fonction est convexe

La fonction est constante

La fonction est décroissante

Explication

Le signe non négatif de la dérivée, avec des annulations isolées, implique que la fonction est croissante. La convexité dépend du signe de la dérivée seconde, et non de celui de $f'$ .

Answer

La fonction est croissante

Question 21

21. Quelle condition caractérise une fonction deux fois dérivable convexe et la position de sa courbe par rapport à ses tangentes ?

f'(x)\leq 0

et la courbe coïncide avec ses tangentes

f'(x)\geq 0

et la courbe reste sous ses tangentes

f''(x)\geq 0

et la courbe reste au-dessus de ses tangentes

f''(x)\leq 0

et la courbe reste au-dessus de ses tangentes

Explication

Une fonction deux fois dérivable est convexe lorsque sa dérivée seconde est positive ou nulle, ce qui place sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes. Le signe de $f'$ décrit les variations, pas la convexité.

Answer

$$f''(x)\geq 0$$ et la courbe reste au-dessus de ses tangentes

Question 22

22. Dans quel ordre général s’effectue une étude pratique complète d’une fonction ?

Asymptotes, domaine, courbe, parité, dérivée, variations, périodicité

Domaine, parité, périodicité, asymptotes, dérivée, variations, courbe

Dérivée, courbe, domaine, asymptotes, périodicité, parité, variations

Parité, variations, domaine, courbe, dérivée, périodicité, asymptotes

Explication

La méthode commence par le domaine, puis examine la parité, la périodicité et les asymptotes avant la dérivée, les points critiques, le tableau de variation et la courbe. Commencer directement par la dérivée ne respecte pas cette progression globale.

Answer

Domaine, parité, périodicité, asymptotes, dérivée, variations, courbe

Question 23

23. Pour déterminer l’asymptote affine $y=mx+b$ de $f$ lorsque $x$ tend vers l’infini, quelles limites permettent de calculer ses coefficients ?

m=\lim_{x\to\infty}f(x)

et

b=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x

m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x

et

b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx)

m=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{f(x)}

et

b=\lim_{x\to\infty}(f(x)+mx)

m=\lim_{x\to\infty}(f(x)-x)

et

b=\lim_{x\to\infty}f(x)

Explication

Le coefficient directeur est la limite du rapport $f(x)/x$ , puis l’ordonnée à l’origine s’obtient avec la limite de $f(x)-mx$ . Les autres expressions n’isolent pas correctement les deux coefficients de l’asymptote.

Answer

$$m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x$$ et $$b=\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx)$$

Question 24

24. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur un intervalle lorsque $d$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ?

Il existe au moins un

c\in[a,b]

tel que

f(c)=d

La fonction possède une dérivée nulle en un point de

[a,b]

La fonction est strictement monotone entre

a

et

b

Il existe un unique

c\in[a,b]

tel que

f(c)=d

Explication

La continuité garantit qu’une valeur intermédiaire est atteinte au moins une fois. L’unicité exige en plus une condition comme la stricte monotonie, qui n’est pas fournie par le théorème seul.

Answer

Il existe au moins un $$c\in[a,b]$$ tel que $$f(c)=d$$

Question 25

25. Quelles hypothèses assurent qu’une fonction réalise une bijection de $[a,b]$ vers l’intervalle compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ?

La continuité et la stricte monotonie sur

[a,b]

La dérivabilité et l’existence d’une asymptote affine

La périodicité et la convexité sur

[a,b]

La continuité et l’annulation de la dérivée aux extrémités

Explication

La continuité assure que chaque valeur intermédiaire est atteinte, tandis que la stricte monotonie assure qu’elle possède un seul antécédent. La dérivabilité, la périodicité ou la convexité ne suffisent pas à établir cette bijection.

Answer

La continuité et la stricte monotonie sur $$[a,b]$$

Question 26

26. Sous quelles conditions le théorème de Rolle permet-il d’affirmer qu’il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$ ?

f

est continue sur

]a,b[

et vérifie

f(a)\ne f(b)

f

est continue sur

[a,b]

, dérivable sur

]a,b[

et vérifie

f(a)=f(b)

f

est strictement monotone sur

[a,b]

et vérifie

f(a)=f(b)

f

est dérivable sur

[a,b]

et vérifie

f'(a)=f'(b)

Explication

Le théorème de Rolle requiert la continuité sur l’intervalle fermé, la dérivabilité à l’intérieur et l’égalité des valeurs aux extrémités. L’égalité des dérivées aux bornes ne constitue pas l’hypothèse centrale de ce théorème.

Answer

$$f$$ est continue sur $$[a,b]$$, dérivable sur $$]a,b[$$ et vérifie $$f(a)=f(b)$$

Question 27

27. Quelle égalité le théorème des accroissements finis garantit-il pour au moins un $c\in]a,b[$ ?

f(b)-f(a)=f'(a)(b-a)

f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)

f(b)+f(a)=f'(c)(b+a)

f(b)-f(a)=f''(c)(b-a)

Explication

Le théorème relie la variation globale de la fonction à une dérivée prise en un point intérieur, selon $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ . La dérivée est évaluée en un point intermédiaire, et non nécessairement en $a$ ni remplacée par la dérivée seconde.

Answer

$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$$

Question 28

28. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle parmi les solutions de l’équation différentielle $y'=y$ ?

Elle vérifie

f(0)=1

Elle vérifie

f'(0)=0

Elle vérifie

f(0)=-1

Elle vérifie

f(1)=0

Explication

La fonction exponentielle est l’unique solution de $y'=y$ qui prend la valeur $1$ en $0$ . Le logarithme n’est pas défini par cette équation différentielle, car il est la fonction réciproque de l’exponentielle.

Answer

Elle vérifie $$f(0)=1$$

Question 29

29. Quelle affirmation décrit correctement les variations et les limites de la fonction exponentielle réelle ?

Elle est strictement décroissante, tend vers

+

en

-

et vers

0

en

+

.

Elle est croissante, tend vers

-1

en

-

et vers

1

en

+

.

Elle est strictement croissante, tend vers

0

en

-

et vers

+

en

+

.

Elle est périodique, reste bornée et prend ses valeurs dans

[-1,1]

.

Explication

L’exponentielle est continue, strictement croissante, tend vers $0$ lorsque $x$ tend vers $-$ et vers $+$ lorsque $x$ tend vers $+$ . La fonction logarithme présente un domaine différent et ne possède pas ces mêmes limites aux mêmes bornes.

Answer

Elle est strictement croissante, tend vers $$0$$ en $$-$$ et vers $$+$$ en $$+$$.

Question 30

30. Quelle expression est égale à $e^xe^y$ pour tous réels $x$ et $y$ ?

e^{x-y}

e^{x/y}

e^{x+y}

e^{xy}

Explication

La règle de multiplication des exponentielles donne $e^xe^y=e^{x+y}$ . L’expression $e^{xy}$ correspond plutôt à la puissance $\left(e^x\right)^y$ .

Answer

$$e^{x+y}$$

Question 31

31. Quel énoncé définit correctement le logarithme népérien ?

C’est une fonction périodique définie sur

\mathbb{R}^*_+

et à valeurs dans

[-1,1]

.

C’est une solution de

y'=y

définie sur

\mathbb{R}

et à valeurs dans

\mathbb{R}^*_+

.

C’est la bijection réciproque de l’exponentielle, définie sur

\mathbb{R}^*_+

et à valeurs dans

\mathbb{R}

.

C’est la bijection réciproque de l’exponentielle, définie sur

\mathbb{R}

et à valeurs dans

\mathbb{R}^*_+

.

Explication

Le logarithme népérien inverse l’exponentielle : son domaine est $\mathbb{R}^*_+$ et ses valeurs appartiennent à $\mathbb{R}$ . Le domaine réel tout entier et l’équation $y'=y$ caractérisent plutôt l’exponentielle.

Answer

C’est la bijection réciproque de l’exponentielle, définie sur $$\mathbb{R}^*_+$$ et à valeurs dans $$\mathbb{R}$$.

Question 32

32. Quelle propriété de parité distingue le sinus du cosinus ?

Le sinus et le cosinus sont tous deux impairs.

Le sinus est impair et le cosinus est pair.

Le sinus et le cosinus sont tous deux pairs.

Le sinus est pair et le cosinus est impair.

Explication

Le sinus est impair, tandis que le cosinus est pair, ce qui signifie respectivement $\sin(-x)=-\sin x$ et $\cos(-x)=\cos x$ . La périodicité de ces fonctions constitue une propriété différente de leur parité.

Answer

Le sinus est impair et le cosinus est pair.

Question 33

33. Quelle paire de dérivées est correcte pour les fonctions sinus et cosinus ?

\sin'(x)=\cos x

et

\cos'(x)=-\sin x

\sin'(x)=-\cos x

et

\cos'(x)=\sin x

\sin'(x)=\cos x

et

\cos'(x)=\sin x

\sin'(x)=\sin x

et

\cos'(x)=\cos x

Explication

La dérivée du sinus est le cosinus, tandis que celle du cosinus est l’opposé du sinus. Le signe négatif dans $\cos'(x)$ est donc indispensable.

Answer

$$\sin'(x)=\cos x$$ et $$\cos'(x)=-\sin x$$

Question 34

34. Pour quelles valeurs de $x$ la tangente n’est-elle pas définie ?

Pour

x=k\pi

avec

k\in\mathbb{Z}

Pour

x=\frac{\pi}{4}+k\pi

avec

k\in\mathbb{Z}

Pour

x=2k\pi

avec

k\in\mathbb{Z}

Pour

x=\frac{\pi}{2}+k\pi

avec

k\in\mathbb{Z}

Explication

La tangente est le quotient $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ et n’est donc pas définie lorsque $\cos x=0$ , c’est-à-dire pour $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ . Aux valeurs $x=k\pi$ , le cosinus vaut au contraire $1$ ou $-1$ .

Answer

Pour $$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$$ avec $$k\in\mathbb{Z}$$

Question 35

35. Sur quel intervalle le sinus doit-il être restreint pour que sa fonction réciproque soit Arcsin ?

Sur

[0,2\pi]

Sur

[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]

Sur

[-\pi,\pi]

Sur

[0,\pi]

Explication

Arcsin est la réciproque du sinus restreint à $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ , intervalle sur lequel le sinus est bijectif vers $[-1,1]$ . L’intervalle $[0,\pi]$ sert plutôt de restriction usuelle pour le cosinus.

Answer

Sur $$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$$

Question 36

36. Quelle définition et quelle propriété de parité correspondent aux fonctions hyperboliques fondamentales ?

\operatorname{Ch}(x)=e^x+e^{-x}

est impaire et

\operatorname{Sh}(x)=e^x-e^{-x}

est paire.

\operatorname{Ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2

est paire et

\operatorname{Sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2

est impaire.

\operatorname{Ch}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2

est impaire et

\operatorname{Sh}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2

est paire.

\operatorname{Ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2

est impaire et

\operatorname{Sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2

est paire.

Explication

La fonction cosinus hyperbolique utilise une somme et est paire, tandis que le sinus hyperbolique utilise une différence et est impair. Intervertir ces deux expressions conduit donc aussi à intervertir leurs propriétés de parité.

Answer

$$\operatorname{Ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$$ est paire et $$\operatorname{Sh}(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$$ est impaire.

Question 37

37. Quelles sont les dérivées des fonctions cosinus et sinus hyperboliques ?

\operatorname{Ch}'(x)=\operatorname{Sh}(x)

et

\operatorname{Sh}'(x)=\operatorname{Ch}(x)

\operatorname{Ch}'(x)=\operatorname{Ch}(x)

et

\operatorname{Sh}'(x)=\operatorname{Sh}(x)

\operatorname{Ch}'(x)=-\operatorname{Sh}(x)

et

\operatorname{Sh}'(x)=\operatorname{Ch}(x)

\operatorname{Ch}'(x)=\operatorname{Sh}(x)

et

\operatorname{Sh}'(x)=-\operatorname{Ch}(x)

Explication

La dérivée de $\operatorname{Ch}$ est $\operatorname{Sh}$ , et la dérivée de $\operatorname{Sh}$ est $\operatorname{Ch}$ , sans signe négatif. Cette règle contraste avec la dérivée du cosinus circulaire, qui comporte un signe négatif.

Answer

$$\operatorname{Ch}'(x)=\operatorname{Sh}(x)$$ et $$\operatorname{Sh}'(x)=\operatorname{Ch}(x)$$

Question 38

38. Quelle expression définit la tangente hyperbolique pour tout réel $x$ ?

\operatorname{Th}(x)=\frac{\operatorname{Sh}(x)}{\operatorname{Ch}(x)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}

\operatorname{Th}(x)=\frac{\operatorname{Ch}(x)}{\operatorname{Sh}(x)}=\frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}

\operatorname{Th}(x)=\operatorname{Ch}(x)-\operatorname{Sh}(x)=e^{-x}

\operatorname{Th}(x)=\operatorname{Ch}(x)+\operatorname{Sh}(x)=e^x

Explication

La tangente hyperbolique est le quotient du sinus hyperbolique par le cosinus hyperbolique, ce qui donne la fraction formée par une différence au numérateur et une somme au dénominateur. Le quotient inverse définit une autre expression et ne possède pas la même interprétation.

Answer

$$\operatorname{Th}(x)=\frac{\operatorname{Sh}(x)}{\operatorname{Ch}(x)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$

QCM : Dérivation et fonctions usuelles — 38 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise le domaine de définition d’une fonction réelle ?

2. Pour déterminer le domaine de définition de f(x)=x−2ln⁡(x+1)f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{\ln(x+1)}f(x)=ln(x+1)x−2​​, quelles conditions faut-il imposer ?

3. La fonction fff vérifie-t-elle la propriété de parité si son domaine est symétrique par rapport à zéro et si f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x) pour tout xxx du domaine ?

4. Si f(x)=x2+1f(x)=x^2+1f(x)=x2+1 et g(x)=xg(x)=\sqrt{x}g(x)=x​, quelle expression représente (g∘f)(x)(g\circ f)(x)(g∘f)(x) ?

5. Quelle interprétation géométrique correspond à la valeur absolue d’un réel xxx ?

6. Quelles sont les solutions de l’inéquation ∣x−3∣≤2|x-3|\le 2∣x−3∣≤2 ?

7. Quelle équation obtient-on en transformant ∣2x−1∣=∣x+4∣|2x-1|=|x+4|∣2x−1∣=∣x+4∣ selon la règle des valeurs absolues ?

8. Que signifie lim⁡x→+∞f(x)=L\lim_{x\to+\infty}f(x)=Llimx→+∞​f(x)=L ?

9. Quelle asymptote est associée à une limite infinie lorsque xxx tend vers un réel aaa ?

10. Quand une fonction admet-elle une limite LLL en un réel aaa ?

11. Que faut-il conclure face à une forme indéterminée telle que 00\frac{0}{0}00​ lors du calcul d’une limite ?

12. Quelle condition caractérise une asymptote affine y=mx+by=mx+by=mx+b d’une fonction fff lorsque xxx tend vers l’infini ?

13. Que représente la limite lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}limh→0​hf(a+h)−f(a)​ lorsqu’elle existe et reste finie ?

14. Quelle équation décrit la tangente à la courbe de fff au point d’abscisse aaa ?

15. Pour deux fonctions dérivables uuu et vvv, quelle formule donne la dérivée du quotient u/vu/vu/v ?

16. Si fff est dérivable en aaa et ggg en f(a)f(a)f(a), quelle expression donne la dérivée de g∘fg\circ fg∘f en aaa ?

17. Pour h(x)=(2x+1)5h(x)=(2x+1)^5h(x)=(2x+1)5, quelle est la dérivée correcte ?

18. Quelle relation caractérise la fonction réciproque d’une bijection fff de III sur JJJ ?

19. Dans quelle situation la règle de L’Hôpital peut-elle être appliquée à une limite de quotient ?

20. Si f′(x)≥0f'(x)\geq 0f′(x)≥0 sur un intervalle et ne s’annule qu’en des points isolés, quelle propriété peut-on attribuer à fff sur cet intervalle ?

21. Quelle condition caractérise une fonction deux fois dérivable convexe et la position de sa courbe par rapport à ses tangentes ?

22. Dans quel ordre général s’effectue une étude pratique complète d’une fonction ?

23. Pour déterminer l’asymptote affine y=mx+by=mx+by=mx+b de fff lorsque xxx tend vers l’infini, quelles limites permettent de calculer ses coefficients ?

24. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur un intervalle lorsque ddd est compris entre f(a)f(a)f(a) et f(b)f(b)f(b) ?

25. Quelles hypothèses assurent qu’une fonction réalise une bijection de [a,b][a,b][a,b] vers l’intervalle compris entre f(a)f(a)f(a) et f(b)f(b)f(b) ?

26. Sous quelles conditions le théorème de Rolle permet-il d’affirmer qu’il existe c∈]a,b[c\in]a,b[c∈]a,b[ tel que f′(c)=0f'(c)=0f′(c)=0 ?

27. Quelle égalité le théorème des accroissements finis garantit-il pour au moins un c∈]a,b[c\in]a,b[c∈]a,b[ ?

28. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle parmi les solutions de l’équation différentielle y′=yy'=yy′=y ?

29. Quelle affirmation décrit correctement les variations et les limites de la fonction exponentielle réelle ?

30. Quelle expression est égale à exeye^xe^yexey pour tous réels xxx et yyy ?

31. Quel énoncé définit correctement le logarithme népérien ?

32. Quelle propriété de parité distingue le sinus du cosinus ?

33. Quelle paire de dérivées est correcte pour les fonctions sinus et cosinus ?

34. Pour quelles valeurs de xxx la tangente n’est-elle pas définie ?

35. Sur quel intervalle le sinus doit-il être restreint pour que sa fonction réciproque soit Arcsin ?

36. Quelle définition et quelle propriété de parité correspondent aux fonctions hyperboliques fondamentales ?

37. Quelles sont les dérivées des fonctions cosinus et sinus hyperboliques ?

38. Quelle expression définit la tangente hyperbolique pour tout réel xxx ?

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2. Pour déterminer le domaine de définition de $f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{\ln(x+1)}$ , quelles conditions faut-il imposer ?

3. La fonction $f$ vérifie-t-elle la propriété de parité si son domaine est symétrique par rapport à zéro et si $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ du domaine ?

4. Si $f(x)=x^2+1$ et $g(x)=\sqrt{x}$ , quelle expression représente $(g\circ f)(x)$ ?

5. Quelle interprétation géométrique correspond à la valeur absolue d’un réel $x$ ?

6. Quelles sont les solutions de l’inéquation $|x-3|\le 2$ ?

7. Quelle équation obtient-on en transformant $|2x-1|=|x+4|$ selon la règle des valeurs absolues ?

8. Que signifie $\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$ ?

9. Quelle asymptote est associée à une limite infinie lorsque $x$ tend vers un réel $a$ ?

10. Quand une fonction admet-elle une limite $L$ en un réel $a$ ?

11. Que faut-il conclure face à une forme indéterminée telle que $\frac{0}{0}$ lors du calcul d’une limite ?

12. Quelle condition caractérise une asymptote affine $y=mx+b$ d’une fonction $f$ lorsque $x$ tend vers l’infini ?

13. Que représente la limite $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsqu’elle existe et reste finie ?

14. Quelle équation décrit la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

15. Pour deux fonctions dérivables $u$ et $v$ , quelle formule donne la dérivée du quotient $u/v$ ?

16. Si $f$ est dérivable en $a$ et $g$ en $f(a)$ , quelle expression donne la dérivée de $g\circ f$ en $a$ ?

17. Pour $h(x)=(2x+1)^5$ , quelle est la dérivée correcte ?

18. Quelle relation caractérise la fonction réciproque d’une bijection $f$ de $I$ sur $J$ ?

20. Si $f'(x)\geq 0$ sur un intervalle et ne s’annule qu’en des points isolés, quelle propriété peut-on attribuer à $f$ sur cet intervalle ?

23. Pour déterminer l’asymptote affine $y=mx+b$ de $f$ lorsque $x$ tend vers l’infini, quelles limites permettent de calculer ses coefficients ?

24. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur un intervalle lorsque $d$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ?

25. Quelles hypothèses assurent qu’une fonction réalise une bijection de $[a,b]$ vers l’intervalle compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ?

26. Sous quelles conditions le théorème de Rolle permet-il d’affirmer qu’il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$ ?

27. Quelle égalité le théorème des accroissements finis garantit-il pour au moins un $c\in]a,b[$ ?

28. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle parmi les solutions de l’équation différentielle $y'=y$ ?

30. Quelle expression est égale à $e^xe^y$ pour tous réels $x$ et $y$ ?

34. Pour quelles valeurs de $x$ la tangente n’est-elle pas définie ?

38. Quelle expression définit la tangente hyperbolique pour tout réel $x$ ?