Fiche de révision : Dérivation et tangentes

📋 Plan du Cours

1. Limites en zéro
2. Taux d’accroissement et dérivabilité
3. Nombre dérivé et tangente
4. Dérivabilité de la valeur absolue
5. Dérivées des fonctions usuelles
6. Dérivabilité de la racine carrée
7. Opérations sur les fonctions dérivables
8. Variations et signe de la dérivée
9. Extremum et tangente horizontale
10. Applications de la dérivation

📖 1. Limites en zéro

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en zéro : La limite de f en zéro est la valeur L dont f(x) se rapproche lorsque x se rapproche de 0, et se note $\lim_{x\to 0}f(x)=L$.

💡 Astuce mémo

Limite finie : une valeur ; limite infinie : aucune valeur unique.

📖 2. Taux d’accroissement et dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivable en un point : Une fonction f est dérivable en a si la limite réelle $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le coefficient directeur de la droite passant par A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) est $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

📐 Formule - Pour A(a,f(a)) et M(a+h,f(a+h)), le taux d’accroissement est $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et correspond à la pente de la sécante (AM).

📐 Formule - Lorsque cette limite existe, le nombre dérivé est $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

💡 Astuce mémo

Sécante (AM) → rapprochement de M vers A → tangente.

📖 3. Nombre dérivé et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente en un point : La tangente à la courbe au point d’abscisse a passe par A(a,f(a)) et a pour coefficient directeur le nombre dérivé f′(a).

📝 Points essentiels

• Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul, donc le nombre dérivé au point de tangence vaut 0.

📖 4. Dérivabilité de la valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La fonction valeur absolue est définie sur ℝ par f(x)=|x| et donne la distance entre x et l’origine du repère.

📝 Points essentiels

• La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0 : le taux d’accroissement tend vers −1 à gauche et vers 1 à droite.

💡 Astuce mémo

À gauche, −1 ; à droite, 1 : deux pentes, donc pas de dérivée en O.

📖 5. Dérivées des fonctions usuelles

📝 Points essentiels

• Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout réel de I ; sa dérivée est notée f′ et f′(x) existe pour tout x∈I.

📐 Formule - La dérivée de la fonction constante f(x)=a est $f'(x)=0$ sur ℝ.

📐 Formule - La dérivée de la fonction linéaire f(x)=ax est $f'(x)=a$ sur ℝ.

📐 Formule - La dérivée de la fonction carré f(x)=x² est $f'(x)=2x$ sur ℝ.

📐 Formule - La dérivée de la fonction puissance f(x)=x^n est $f'(x)=nx^{n-1}$ sur ℝ.

📐 Formule - La dérivée de la fonction inverse f(x)=1/x est $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ sur ℝ*.

📐 Formule - La fonction racine carrée est définie sur [0,+∞[ et sa dérivée est $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur ]0,+∞[ ; elle n’est pas dérivable en 0.

📖 6. Dérivabilité de la racine carrée

📝 Points essentiels

• La fonction racine carrée est définie sur [0 ; +∞[, mais elle est dérivable seulement sur ]0 ; +∞[ et n’est donc pas dérivable en 0.

📖 7. Opérations sur les fonctions dérivables

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour deux fonctions dérivables u et v, la dérivée de leur somme vérifie $(u+v)'=u'+v'$.

📐 Formule - Pour deux fonctions dérivables u et v, la dérivée de leur produit vérifie $(uv)'=u'v+v'u$.

📐 Formule - Pour deux fonctions dérivables u et v avec v non nulle, la dérivée du quotient vérifie $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-v'u}{v^2}$.

📖 8. Variations et signe de la dérivée

📝 Points essentiels

📌 Si f est dérivable sur I et si f′(x) ≤ 0 sur I, alors f est décroissante sur I ; si f′(x) ≥ 0 sur I, alors f est croissante sur I.

💡 Astuce mémo

Le signe de f′ entraîne le sens de variation de f.

📖 9. Extremum et tangente horizontale

📝 Points essentiels

📌 Si la dérivée d’une fonction s’annule en c et change de signe, la fonction admet un extremum en c.

📌 Un changement de signe de f′ de positif à négatif en c donne un maximum local, tandis qu’un changement de négatif à positif donne un minimum local.

💡 Astuce mémo

f′ passe de + à − : maximum ; de − à + : minimum.

📖 10. Applications de la dérivation

📝 Points essentiels

• Pour comparer deux courbes représentatives de f et g, on étudie le signe de h=f−g : h≥0 signifie que la courbe de f est au-dessus de celle de g.

• 🔄 Pour résoudre un problème d’optimisation :

  1. Exprimer la grandeur à optimiser.
  2. Étudier le signe de sa dérivée sur l’intervalle admissible.
  3. Repérer la valeur où l’extremum est atteint.