QCM : Dérivation et tangentes (9 questions)

Question 1

1. Lorsque $x$ se rapproche de zéro et que $f(x)$ se rapproche de $L$ , que signifie $\lim_{x\to 0}f(x)=L$ ?

Les valeurs de

f(x)

se rapprochent de

L

.

Les valeurs de

x

se rapprochent de

L

.

La pente de la courbe se rapproche de

L

.

La valeur de

f(0)

est égale à

L

.

Explication

Cette notation indique que les valeurs de la fonction s’approchent de $L$ lorsque $x$ s’approche de zéro; elle ne garantit pas que $f(0)=L$ .

Answer

Les valeurs de $$f(x)$$ se rapprochent de $$L$$.

Question 2

2. Pour une fonction $g$ et un réel $a$ , la limite $\lim_{h\to0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}$ existe et vaut un réel fini. Quelle conclusion s’impose ?

g

est dérivable en

a

seulement si la limite vaut zéro.

g

est dérivable sur tout son domaine.

g

est dérivable en

a

.

g

est dérivable en

a

si la limite est infinie.

Explication

Une fonction est dérivable en $a$ lorsque la limite du taux d’accroissement existe et est un nombre réel. La dérivabilité ne requiert pas une limite nulle ni n’établit la dérivabilité en tout point du domaine.

Answer

$$g$$ est dérivable en $$a$$.

Question 3

3. Que représente le nombre dérivé $f'(a)$ pour la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

Le coefficient directeur de la sécante reliant deux points fixes de la courbe

L’abscisse du point où la tangente coupe l’axe des ordonnées

L’ordonnée du point de la courbe d’abscisse

a

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe en

A(a,f(a))

Explication

Le nombre dérivé en $a$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A(a,f(a))$ . L’ordonnée de ce point est $f(a)$ , et non $f'(a)$ .

Answer

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe en $$A(a,f(a))$$

Question 4

4. Pour la fonction $f(x)=|x|$ , vers quelles valeurs tend le taux d’accroissement en zéro lorsque $h$ approche zéro par la gauche et par la droite ?

Vers

-1

des deux côtés

Vers

1

à gauche et

-1

à droite

Vers

0

des deux côtés

Vers

-1

à gauche et

1

à droite

Explication

Pour $h<0$ , le taux d’accroissement de $|x|$ en zéro vaut $-1$ , tandis que pour $h>0$ , il vaut $1$ ; les limites latérales sont donc différentes. La valeur $0$ des deux côtés ne convient pas, car elle confond la valeur de la fonction en zéro avec les pentes obtenues de part et d’autre.

Answer

Vers $$-1$$ à gauche et $$1$$ à droite

Question 5

5. Quel est le rôle de la dérivée d’une fonction constante sur $\mathbb{R}$ ?

Indiquer que sa pente est égale à la valeur constante

Indiquer que sa pente est nulle en tout point

Indiquer que sa pente varie proportionnellement à l’abscisse

Indiquer que sa pente est définie seulement pour les abscisses positives

Explication

Une fonction constante a pour dérivée zéro sur $\mathbb{R}$ , ce qui traduit une pente nulle en tout point. Une pente égale à la valeur constante correspond plutôt à la dérivée d’une fonction linéaire de la forme $f(x)=ax$ .

Answer

Indiquer que sa pente est nulle en tout point

Question 6

6. En quoi les domaines de dérivabilité de la fonction racine carrée et de son domaine de définition diffèrent-ils ?

Elle est définie et dérivable sur

[0;+[

.

Elle est définie sur

\mathbb{R}

et dérivable sur

]0;+[

.

Elle est définie sur

]0;+[

et dérivable sur

[0;+[

.

Elle est définie sur

[0;+[

et dérivable sur

]0;+[

, sans l’être en zéro.

Explication

La racine carrée est définie en zéro, mais sa dérivabilité commence seulement pour les réels strictement positifs. L’affirmation qu’elle est aussi dérivable en zéro confond le domaine de définition avec celui de dérivabilité.

Answer

Elle est définie sur $$[0;+[ $$ et dérivable sur $$]0;+[ $$, sans l’être en zéro.

Question 7

7. Si deux fonctions dérivables $u$ et $v$ sont multipliées pour former $f=uv$ , quelle conséquence cela a-t-il sur l’expression de la dérivée de $f$ ?

Elle s’obtient par

f'=u'+v'

.

Elle s’obtient par

f'=u'v-uv'

.

Elle s’obtient par

f'=u'v+uv'

.

Elle s’obtient par

f'=u'v'

.

Explication

La dérivation d’un produit fait intervenir la dérivée de chacun des facteurs, multipliée par l’autre facteur. La formule $u'v'$ correspond à la multiplication des dérivées, et non à la règle de dérivation d’un produit.

Answer

Elle s’obtient par $$f'=u'v+uv'$$.

Question 8

8. Pour établir les variations d’une fonction dérivable sur un intervalle, comment utiliser le signe de sa dérivée ?

Conclure qu’elle est croissante si sa dérivée est positive ou nulle, et décroissante si elle est négative ou nulle.

Conclure qu’elle est croissante si sa dérivée est négative ou nulle, et décroissante si elle est positive ou nulle.

Conclure qu’elle est croissante lorsque sa dérivée change de signe, et décroissante lorsqu’elle garde le même signe.

Conclure qu’elle est constante dès que sa dérivée est positive ou nulle sur l’intervalle.

Explication

Le signe de la dérivée permet de déterminer le sens de variation : une dérivée positive ou nulle indique une fonction croissante, tandis qu’une dérivée négative ou nulle indique une fonction décroissante. Une dérivée négative correspond donc à une décroissance, et non à une croissance.

Answer

Conclure qu’elle est croissante si sa dérivée est positive ou nulle, et décroissante si elle est négative ou nulle.

Question 9

9. Quelle caractéristique du signe de la dérivée permet de conclure qu’une fonction dérivable admet un extremum en un point intérieur ?

La fonction atteint une valeur nulle en ce point, quel que soit le signe de sa dérivée.

La dérivée est négative sur tout l’intervalle contenant le point.

La dérivée s’annule en ce point et change de signe en le traversant.

La dérivée conserve un signe strictement positif de part et d’autre du point.

Explication

L’annulation de la dérivée accompagnée d’un changement de signe caractérise un extremum en ce point. Une dérivée qui reste positive indique une croissance, mais ne suffit pas à établir un extremum.

Answer

La dérivée s’annule en ce point et change de signe en le traversant.

QCM : Dérivation et tangentes (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Lorsque $x$ se rapproche de zéro et que $f(x)$ se rapproche de $L$ , que signifie $\lim_{x\to 0}f(x)=L$ ?

2. Pour une fonction $g$ et un réel $a$ , la limite $\lim_{h\to0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}$ existe et vaut un réel fini. Quelle conclusion s’impose ?

3. Que représente le nombre dérivé $f'(a)$ pour la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

4. Pour la fonction $f(x)=|x|$ , vers quelles valeurs tend le taux d’accroissement en zéro lorsque $h$ approche zéro par la gauche et par la droite ?

5. Quel est le rôle de la dérivée d’une fonction constante sur $\mathbb{R}$ ?

6. En quoi les domaines de dérivabilité de la fonction racine carrée et de son domaine de définition diffèrent-ils ?

7. Si deux fonctions dérivables $u$ et $v$ sont multipliées pour former $f=uv$ , quelle conséquence cela a-t-il sur l’expression de la dérivée de $f$ ?

8. Pour établir les variations d’une fonction dérivable sur un intervalle, comment utiliser le signe de sa dérivée ?

9. Quelle caractéristique du signe de la dérivée permet de conclure qu’une fonction dérivable admet un extremum en un point intérieur ?

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QCM : Dérivation et tangentes (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Lorsque xxx se rapproche de zéro et que f(x)f(x)f(x) se rapproche de LLL, que signifie lim⁡x→0f(x)=L\lim_{x\to 0}f(x)=Llimx→0​f(x)=L ?

2. Pour une fonction ggg et un réel aaa, la limite lim⁡h→0g(a+h)−g(a)h\lim_{h\to0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}limh→0​hg(a+h)−g(a)​ existe et vaut un réel fini. Quelle conclusion s’impose ?

3. Que représente le nombre dérivé f′(a)f'(a)f′(a) pour la courbe de fff au point d’abscisse aaa ?

4. Pour la fonction f(x)=∣x∣f(x)=|x|f(x)=∣x∣, vers quelles valeurs tend le taux d’accroissement en zéro lorsque hhh approche zéro par la gauche et par la droite ?

5. Quel est le rôle de la dérivée d’une fonction constante sur R\mathbb{R}R ?

6. En quoi les domaines de dérivabilité de la fonction racine carrée et de son domaine de définition diffèrent-ils ?

7. Si deux fonctions dérivables uuu et vvv sont multipliées pour former f=uvf=uvf=uv, quelle conséquence cela a-t-il sur l’expression de la dérivée de fff ?

8. Pour établir les variations d’une fonction dérivable sur un intervalle, comment utiliser le signe de sa dérivée ?

9. Quelle caractéristique du signe de la dérivée permet de conclure qu’une fonction dérivable admet un extremum en un point intérieur ?

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1. Lorsque $x$ se rapproche de zéro et que $f(x)$ se rapproche de $L$ , que signifie $\lim_{x\to 0}f(x)=L$ ?

2. Pour une fonction $g$ et un réel $a$ , la limite $\lim_{h\to0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}$ existe et vaut un réel fini. Quelle conclusion s’impose ?

3. Que représente le nombre dérivé $f'(a)$ pour la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

4. Pour la fonction $f(x)=|x|$ , vers quelles valeurs tend le taux d’accroissement en zéro lorsque $h$ approche zéro par la gauche et par la droite ?

5. Quel est le rôle de la dérivée d’une fonction constante sur $\mathbb{R}$ ?

7. Si deux fonctions dérivables $u$ et $v$ sont multipliées pour former $f=uv$ , quelle conséquence cela a-t-il sur l’expression de la dérivée de $f$ ?