Fiche de révision : Dérivation, primitives et logarithme

📋 Plan du Cours

1. Dérivées des fonctions usuelles
2. Règles de dérivation composées
3. Primitives usuelles
4. Définition et variations du logarithme
5. Propriétés et équations logarithmiques
6. Limites et courbe du logarithme
7. Logarithme d’une fonction composée

📖 1. Dérivées des fonctions usuelles

★ À maîtriser

• Pour tout entier naturel non nul $m$, la dérivée de $x^m$ est $mx^{m-1}$.

📐 Formule - Les dérivées de $\sin x$, $\cos x$ et $\tan x$ sont respectivement $\cos x$, $-\sin x$ et $1/\cos^2 x=1+\tan^2 x$.

📐 Formule - Pour $x>0$, les dérivées de $\ln x$ et $e^x$ sont respectivement $1/x$ et $e^x$.

Compléments

📐 Formule - La dérivée de la fonction constante $f(x)=a$ est $f'(x)=0$.

📐 Formule - La dérivée de la fonction affine $f(x)=ax+b$ est $f'(x)=a$.

📐 Formule - La dérivée de $1/x$ est $-1/x^2$.

📐 Formule - La dérivée de $\sqrt{x}$ est $1/(2\sqrt{x})$.

📖 2. Règles de dérivation composées

★ À maîtriser

📐 Formule - La dérivée d’une somme est la somme des dérivées : $(u+v)'=u'+v'$.

📐 Formule - La dérivée d’un produit est $(uv)'=u'v+v'u$.

📐 Formule - La dérivée d’un quotient est $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-v'u}{v^2}$.

Compléments

• Pour une constante réelle $a$, la dérivée de $au$ est $au'$.

📐 Formule - La dérivée de $a/v$, pour une constante $a$, est $-av'/v^2$.

📐 Formule - Les dérivées de $\sqrt{u}$, $\sin(u)$, $\cos(u)$ et $\tan(u)$ sont respectivement $u'/(2\sqrt{u})$, $u'\cos(u)$, $-u'\sin(u)$ et $u'/\cos^2(u)$.

📐 Formule - Pour $u>0$, la dérivée de $\ln(u)$ est $u'/u$, et la dérivée de $e^u$ est $u'e^u$.

📖 3. Primitives usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout entier naturel non nul $m$, une primitive de $x^m$ est $x^{m+1}/(m+1)+C$.

• Des primitives de $\sin x$, $\cos x$ et $1/\cos^2 x$ sont respectivement $-\cos x+C$, $\sin x+C$ et $\tan x+C$.

Compléments

• Une primitive de la fonction constante $a$ est $ax+C$.

📐 Formule - Une primitive de $x$ est $x^2/2+C$.

📐 Formule - Une primitive de $1/\sqrt{x}$ est $2\sqrt{x}+C$.

📖 4. Définition et variations du logarithme

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Primitive de $x\mapsto 1/x$ sur $]0,+\infty[$ qui s’annule en 1, notée $\ln$.

★ À maîtriser

• Le domaine de définition de $\ln x$ est $]0,+\infty[$, et $\ln(1)=0$ tandis que $\ln(e)=1$.

📐 Formule - Pour tout $x>0$, la dérivée de $\ln x$ est $1/x$.

Compléments

• La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0,+\infty$.

• La fonction logarithme népérien est une bijection de $]0,+\infty$ sur $]-\infty,+\infty[$.

📖 5. Propriétés et équations logarithmiques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $a>0$ et $b>0$, $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.

📐 Formule - Pour $a>0$ et tout entier $m$, $\ln(a^m)=m\ln a$.

📌 Pour $x>0$, l’équation $\ln x=A$ équivaut à $x=e^A$.

Compléments

📐 Formule - Pour $a>0$, $\ln(\sqrt{a})=\frac12\ln a$.

📖 6. Limites et courbe du logarithme

★ À maîtriser

• Quand $x$ tend vers $0$ par valeurs positives, $\ln x$ tend vers $-\infty$, et quand $x$ tend vers $+\infty$, $\ln x$ tend vers $+\infty$.

• Sur $]0{,}1[$, $\ln x<0$ ; en 1, $\ln x=0$ ; sur $]1,+\infty[$, $\ln x>0$.

Compléments

• Quand $x\to0^+$, $x\ln x\to0^-$ et, pour tout entier naturel non nul $m$, $x^m\ln x\to0^-$.

📐 Formule - Quand $x\to0$, $\ln(1+x)/x\to1$.

📐 Formule - Pour $a>0$, quand $x\to a$, $(\ln x-\ln a)/(x-a)\to1/a$.

📐 Formule - Quand $x\to+\infty$, $x/\ln x\to+\infty$.

• La courbe de $\ln x$ admet l’asymptote verticale d’équation $x=0$.

📖 7. Logarithme d’une fonction composée

★ À maîtriser

📌 Le domaine de définition de $x\mapsto\ln(u(x))$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $u(x)>0$.

📐 Formule - La dérivée de $\ln(u(x))$ est $u'(x)/u(x)$ lorsque $u(x)>0$.

Compléments

📐 Formule - Une primitive de $u'(x)/u(x)$ est $\ln|u(x)|+C$ lorsque $u(x)\ne0$.

💡 Astuce mémo

ln(u) exige u > 0, tandis que ln|u| exige seulement u ≠ 0.