QCM : Dérivation, primitives et logarithme (10 questions)

Question 1

1. Pour la fonction $f(x)=x^6$ , quelle est la dérivée $f'(x)$ ?

5x^4

6x^5

6x^6

x^5

Explication

Pour un entier naturel non nul $m$ , la dérivée de $x^m$ est $mx^{m-1}$ : ici, cela donne $6x^5$ . $6x^6$ conserve l’exposant, $x^5$ omet le facteur 6 et $5x^4$ applique incorrectement la règle à l’exposant 5.

Answer

$$\frac{1}{\cos^2 x}$$

Answer

$$3x^2+4x$$

Answer

$$-\frac{1}{4}$$

Answer

C’est une primitive de la fonction $$x\mapsto 1/x$$ sur $$]0,+\infty[$$, qui s’annule en 1.

Answer

Elle permet de faire passer l’exposant d’une puissance devant le logarithme.

Answer

La fonction tend vers $$-\infty$$ près de $$0$$ et vers $$+\infty$$ à l’infini.

Answer

La fonction n’y est pas définie, car son argument doit être positif.

Answer

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Answer

Multiplier la dérivée de chaque fonction par l’autre fonction, puis additionner les deux termes.

Question 2

2. Pour $g(x)=\tan x$ , quelle expression donne $g'(x)$ ?

\frac{1}{\cos x}

-\sin x

\cos x

\frac{1}{\cos^2 x}

Explication

La dérivée de $\tan x$ est $1/\cos^2 x$ , équivalente à $1+\tan^2 x$ . $\cos x$ correspond à la dérivée de $\sin x$ , $-\sin x$ à celle de $\cos x$ , et $1/\cos x$ omet le carré.

Question 3

3. Si $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=4x$ , quelle est la dérivée de $u+v$ en fonction de $x$ ?

12x^3

3x^2-4x

3x^2+4x

u(x)+v(x)

Explication

La dérivée d’une somme est la somme des dérivées : $(u+v)'=u'+v'$ , donc ici $3x^2+4x$ . $12x^3$ multiplie les dérivées, $3x^2-4x$ les soustrait, et $u+v$ n’est pas une expression de leur dérivée.

Question 4

4. Pour $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x+2$ , quelle est la dérivée de $u/v$ en $x=0$ ?

\frac{1}{4}

-\frac{1}{4}

\frac{1}{2}

-1

Explication

La règle du quotient donne $(u/v)'=(u'v-v'u)/v^2$ . En $x=0$ , $u=1$ , $u'=0$ , $v=2$ et $v'=1$ , donc la dérivée vaut $(0\times2-1\times1)/2^2=-1/4$ ; le signe plus confond quotient et produit, l’ordre inversé change le signe, et l’absence du carré donne une autre valeur.

Question 5

5. Quelle propriété caractérise le logarithme népérien comme primitive ?

C’est une primitive de la fonction

x\mapsto 1/x

sur

]-\infty,0[

, qui s’annule en

-1

.

C’est une primitive de la fonction

x\mapsto 1/x

sur

]0,+\infty[

, qui vaut 1 en 0.

C’est une primitive de la fonction constante égale à 1 sur

]0,+\infty[

, qui s’annule en 1.

C’est une primitive de la fonction

x\mapsto 1/x

sur

]0,+\infty[

, qui s’annule en 1.

Explication

Le logarithme népérien est défini comme une primitive de $1/x$ sur les réels strictement positifs et sa valeur en 1 est nulle. La proposition qui lui attribue la valeur 1 en 0 est incompatible avec son domaine de définition, qui exclut 0.

Question 6

6. Quel rôle joue l’identité $\ln(a^m)=m\ln a$ lorsqu’on transforme une expression logarithmique ?

Elle permet de convertir une équation logarithmique en une équation polynomiale.

Elle permet de faire passer l’exposant d’une puissance devant le logarithme.

Elle permet de définir le logarithme d’un nombre négatif.

Elle permet de remplacer le logarithme d’un produit par une différence.

Explication

Cette identité transforme le logarithme d’une puissance en un produit, en faisant apparaître l’exposant comme facteur. La règle du produit concerne plutôt $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ et ne produit pas une différence.

Question 7

7. En quoi les comportements de $\ln x$ diffèrent-ils lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs positives et lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

La fonction tend vers

-\infty

près de

0

et vers une limite finie à l’infini.

La fonction tend vers

0

près de

0

et vers

+\infty

à l’infini.

La fonction tend vers

+\infty

près de

0

et vers

-\infty

à l’infini.

La fonction tend vers

-\infty

près de

0

et vers

+\infty

à l’infini.

Explication

Lorsque $x$ approche $0$ par valeurs positives, $\ln x$ décroît sans borne, tandis que lorsque $x$ tend vers $+\infty$ , $\ln x$ croît sans borne. L’option qui inverse ces deux comportements confond les limites aux deux extrémités du domaine.

Question 8

8. Si $u(x)$ devient négatif sur un intervalle, quelle conséquence cela a-t-il pour la définition de $\ln(u(x))$ sur cet intervalle ?

La fonction y est définie, car l’argument peut être négatif.

La fonction y est définie en remplaçant l’argument par sa valeur absolue.

La fonction n’y est pas définie, car son argument doit être positif.

La fonction y est définie si

u(x)

est différent de zéro.

Explication

Le logarithme composé $\ln(u(x))$ est défini uniquement aux valeurs de $x$ pour lesquelles $u(x)>0$ . La condition $u(x)\ne0$ suffit pour $\ln|u(x)|$ , mais cette expression est différente de $\ln(u(x))$ .

Question 9

9. Pour calculer le taux de variation instantané de $f(x)=\sqrt{x}$ en un point $x>0$ , quelle formule de dérivation faut-il appliquer ?

f'(x)=-\frac{1}{x^2}

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}

f'(x)=2\sqrt{x}

f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}

Explication

La dérivée de la fonction racine carrée est $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x>0$ . La formule $\frac{1}{\sqrt{x}}$ correspond à une primitive de la fonction inverse de la racine carrée, et non à la dérivée de $\sqrt{x}$ .

Question 10

10. Quelle règle permet de dériver le produit de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ ?

Soustraire les produits de chaque dérivée par l’autre fonction, puis diviser par

v^2

.

Additionner les deux dérivées, puis multiplier le résultat par

uv

.

Multiplier la dérivée de chaque fonction par l’autre fonction, puis additionner les deux termes.

Multiplier les deux fonctions, puis ajouter leurs dérivées au produit obtenu.

Explication

La règle du produit s’écrit $(uv)'=u'v+v'u$ : chaque dérivée est multipliée par l’autre fonction, et les termes sont additionnés. La formule avec une soustraction et une division par $v^2$ correspond à la dérivation d’un quotient.

QCM : Dérivation, primitives et logarithme (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour la fonction $f(x)=x^6$ , quelle est la dérivée $f'(x)$ ?

2. Pour $g(x)=\tan x$ , quelle expression donne $g'(x)$ ?

3. Si $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=4x$ , quelle est la dérivée de $u+v$ en fonction de $x$ ?

4. Pour $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x+2$ , quelle est la dérivée de $u/v$ en $x=0$ ?

5. Quelle propriété caractérise le logarithme népérien comme primitive ?

6. Quel rôle joue l’identité $\ln(a^m)=m\ln a$ lorsqu’on transforme une expression logarithmique ?

7. En quoi les comportements de $\ln x$ diffèrent-ils lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs positives et lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

8. Si $u(x)$ devient négatif sur un intervalle, quelle conséquence cela a-t-il pour la définition de $\ln(u(x))$ sur cet intervalle ?

9. Pour calculer le taux de variation instantané de $f(x)=\sqrt{x}$ en un point $x>0$ , quelle formule de dérivation faut-il appliquer ?

10. Quelle règle permet de dériver le produit de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Atomistique et structure électronique

Théorème de Pythagore

Identifier et caractériser des substances

Transformations nucléaires et radioactivité

Risques sismiques et volcaniques

Transfert génétique et phylogénie bactérienne

Crée tes propres QCM

QCM : Dérivation, primitives et logarithme (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour la fonction f(x)=x6f(x)=x^6f(x)=x6, quelle est la dérivée f′(x)f'(x)f′(x) ?

2. Pour g(x)=tan⁡xg(x)=\tan xg(x)=tanx, quelle expression donne g′(x)g'(x)g′(x) ?

3. Si u′(x)=3x2u'(x)=3x^2u′(x)=3x2 et v′(x)=4xv'(x)=4xv′(x)=4x, quelle est la dérivée de u+vu+vu+v en fonction de xxx ?

4. Pour u(x)=x2+1u(x)=x^2+1u(x)=x2+1 et v(x)=x+2v(x)=x+2v(x)=x+2, quelle est la dérivée de u/vu/vu/v en x=0x=0x=0 ?

5. Quelle propriété caractérise le logarithme népérien comme primitive ?

6. Quel rôle joue l’identité ln⁡(am)=mln⁡a\ln(a^m)=m\ln aln(am)=mlna lorsqu’on transforme une expression logarithmique ?

7. En quoi les comportements de ln⁡x\ln xlnx diffèrent-ils lorsque xxx tend vers 000 par valeurs positives et lorsque xxx tend vers +∞+\infty+∞ ?

8. Si u(x)u(x)u(x) devient négatif sur un intervalle, quelle conséquence cela a-t-il pour la définition de ln⁡(u(x))\ln(u(x))ln(u(x)) sur cet intervalle ?

9. Pour calculer le taux de variation instantané de f(x)=xf(x)=\sqrt{x}f(x)=x​ en un point x>0x>0x>0, quelle formule de dérivation faut-il appliquer ?

10. Quelle règle permet de dériver le produit de deux fonctions dérivables uuu et vvv ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Atomistique et structure électronique

Théorème de Pythagore

Identifier et caractériser des substances

Transformations nucléaires et radioactivité

Risques sismiques et volcaniques

Transfert génétique et phylogénie bactérienne

Crée tes propres QCM

1. Pour la fonction $f(x)=x^6$ , quelle est la dérivée $f'(x)$ ?

2. Pour $g(x)=\tan x$ , quelle expression donne $g'(x)$ ?

3. Si $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=4x$ , quelle est la dérivée de $u+v$ en fonction de $x$ ?

4. Pour $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=x+2$ , quelle est la dérivée de $u/v$ en $x=0$ ?

6. Quel rôle joue l’identité $\ln(a^m)=m\ln a$ lorsqu’on transforme une expression logarithmique ?

7. En quoi les comportements de $\ln x$ diffèrent-ils lorsque $x$ tend vers $0$ par valeurs positives et lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ?

8. Si $u(x)$ devient négatif sur un intervalle, quelle conséquence cela a-t-il pour la définition de $\ln(u(x))$ sur cet intervalle ?

9. Pour calculer le taux de variation instantané de $f(x)=\sqrt{x}$ en un point $x>0$ , quelle formule de dérivation faut-il appliquer ?

10. Quelle règle permet de dériver le produit de deux fonctions dérivables $u$ et $v$ ?