Fiche de révision : Description du mouvement

📋 Plan du Cours

1. Cadre de description du mouvement
2. Position et trajectoire
3. Vecteur vitesse et calcul
4. Accélération et dérivées
5. Repère de Frenet
6. Caractérisation des mouvements

📖 1. Cadre de description du mouvement

📝 Points essentiels

• La description du mouvement nécessite les étapes suivantes : préciser le système étudié, choisir un référentiel associé à une horloge, faire le bilan des forces extérieures appliquées au système, déterminer les vecteurs position, vitesse et accélération, déterminer la trajectoire

💡 Astuce mémo

Système → référentiel → forces → vecteurs → trajectoire

📖 2. Position et trajectoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur position : Le vecteur position du point matériel M dans le repère (O ; i⃗ ; j⃗ ; k⃗) s’écrit $\overrightarrow{OM}(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}$.
• Trajectoire : Ensemble des positions successives qu’il occupe au cours du temps.

📝 Points essentiels

• Pour étudier un solide, on l’assimile à un point matériel M, souvent placé au centre d’inertie, car ce point a le mouvement le plus simple.

• La description du mouvement nécessite de choisir l’origine des dates, avec t = 0, et un repère associé au référentiel.

📖 3. Vecteur vitesse et calcul

★ À maîtriser

• À l’instant considéré, le vecteur vitesse a pour origine le point étudié, une direction tangente à la trajectoire et un sens identique à celui du mouvement.

📐 Formule - Pour des points enregistrés à intervalles successifs τ, la valeur de la vitesse au point Mi est $V_i=\frac{M_{i-1}M_{i+1}}{2\tau}$, en m·s⁻¹.

📐 Formule - La vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps : $\vec{V}(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta\overrightarrow{OM}}{\Delta t}=\frac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}$.

📐 Formule - Dans un repère cartésien, les composantes de la vitesse sont $V_x=\frac{dx}{dt},\quad V_y=\frac{dy}{dt},\quad V_z=\frac{dz}{dt}$ et sa norme vaut $\|\vec{V}\|=\sqrt{V_x^2+V_y^2+V_z^2}$.

Compléments

• La durée τ sépare deux enregistrements successifs et la longueur du vecteur vitesse est proportionnelle à sa valeur selon l’échelle choisie.

• Trois méthodes permettent de déterminer les composantes de la vitesse :

  • calcul dans un tableur
  • détermination des coefficients directeurs des tangentes aux courbes coordonnées en fonction du temps
  • modélisation des courbes et dérivation de leurs équations horaires

📖 4. Accélération et dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Accélération : Caractérise l’évolution de la vitesse au cours du temps.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’accélération moyenne est le rapport de la variation de la vitesse à la durée correspondante : $a=\frac{\Delta V}{\Delta t}$.

📐 Formule - Dans un référentiel donné, l’accélération est la dérivée de la vitesse et la dérivée seconde de la position : $\vec{a}(t)=\frac{d\vec{V}(t)}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{OM}(t)}{dt^2}$.

Compléments

📐 Formule - Pour des enregistrements séparés par une durée τ, l’accélération au point considéré s’estime par $\vec{a}_t=\frac{\vec{V}_{t+1}-\vec{V}_{t-1}}{2\tau}=\frac{\Delta\vec{V}}{2\tau}$.

• Pour construire graphiquement l’accélération, on place au point M les vecteurs vitesse aux instants t + Δt et t − Δt, on additionne le premier au vecteur opposé du second pour obtenir Δv, puis on divise cette variation par 2Δt ; l’accélération et Δv ont même direction et même sens.

📐 Formule - Les composantes de l’accélération vérifient $a_x=\frac{dV_x}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2},\quad a_y=\frac{dV_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2},\quad a_z=\frac{dV_z}{dt}=\frac{d^2z}{dt^2}$.

💡 Astuce mémo

La variation de vitesse au cours du temps produit l’accélération

📖 5. Repère de Frenet

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de Frenet : Défini par les vecteurs unitaires tangent à la trajectoire et normal à celle-ci.
• Vecteur tangentiel : Le vecteur unitaire tangentiel $\vec{u_t}$ est tangent à la trajectoire et orienté dans le sens du mouvement.
• Vecteur normal : Le vecteur unitaire normal $\vec{u_n}$ est perpendiculaire au vecteur tangentiel et orienté vers l’intérieur de la courbure.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans le repère de Frenet, la vitesse s’écrit $\vec{v}=v\vec{u_t}$ et l’accélération $\vec{a}=a_t\vec{u_t}+a_n\vec{u_n}$.

📐 Formule - Pour un mouvement circulaire de rayon R, l’accélération dans le repère de Frenet vaut $\vec{a}=\frac{dv}{dt}\vec{u_t}+\frac{v^2}{R}\vec{u_n}$.

💡 Astuce mémo

Tangentiel : le long du mouvement ; normal : vers l’intérieur de la courbure

📖 6. Caractérisation des mouvements

★ À maîtriser

• Dans un mouvement rectiligne uniforme, le vecteur vitesse est constant et l’accélération est nulle.

• Dans un mouvement rectiligne uniformément accéléré, l’accélération est constante, les vecteurs vitesse et accélération ont le même sens et la valeur de la vitesse augmente.

• Dans un mouvement rectiligne uniformément ralenti, les vecteurs vitesse et accélération sont de sens opposés et la valeur de la vitesse diminue.

• Dans un mouvement circulaire uniforme, la valeur de la vitesse reste constante, le vecteur vitesse varie et l’accélération est dirigée vers le centre de la trajectoire, avec $\vec{v}\cdot\vec{a}=0$.

Compléments

• Les adjectifs décrivant trajectoire et vitesse comprennent :
  • circulaire
  • rectiligne
  • curviligne
  • uniforme
  • accélérée
  • ralentie

📌 Dans un mouvement circulaire uniformément accéléré, la valeur de la vitesse augmente et l’accélération est constante et dirigée vers l’intérieur de la trajectoire.

📌 Dans un mouvement circulaire uniformément ralenti, la valeur de la vitesse diminue et les vecteurs vitesse et accélération vérifient $\vec{v}\cdot\vec{a}<0$.

💡 Astuce mémo

Même sens : la vitesse augmente ; sens opposés : elle diminue

📊 Tableaux de synthèse

Mouvements rectilignes et circulaires