Fiche de révision : Intervalles et valeur absolue

📋 Plan du Cours

1. Droite numérique et encadrement
2. Intervalles bornés
3. Intervalles non bornés
4. Intersection et réunion
5. Distance et valeur absolue
6. Longueur centre et rayon

📖 1. Droite numérique et encadrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite numérique : Droite graduée où tout nombre réel est l’abscisse d’un unique point et où chaque point correspond à un unique nombre réel.
• Encadrement : Un encadrement de x par a et b vérifie $a \leq x < b$, et il est à $10^p$ près lorsque $b-a \leq 10^p$.

💡 Astuce mémo

Un réel repère un point, et un point repère un réel

📖 2. Intervalles bornés

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : L’intervalle fermé de bornes a et b, avec a < b, est l’ensemble des réels x tels que $a \leq x \leq b$ et se note [a; b].
• Intervalle ouvert : L’intervalle ouvert de bornes a et b, avec a < b, est l’ensemble des réels x tels que $a < x < b$ et se note ]a; b[.

📝 Points essentiels

• Le réel -1 appartient à l’intervalle [-5; 4], tandis que 8 n’appartient pas à [-4; 6] et que 4 n’appartient pas à ]-3; 4[.

💡 Astuce mémo

Crochets fermés : bornes incluses ; ouverts : bornes exclues

📖 3. Intervalles non bornés

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle non borné : Les intervalles non bornés se notent ]a; +∞[, [a; +∞[, ]-∞; a] ou ]-∞; a[ selon les inégalités qui définissent leurs réels.

★ À maîtriser

• Les symboles +∞ et -∞ ne sont pas des nombres et sont toujours exclus des intervalles.

Compléments

📐 Formule - L’ensemble des nombres réels se note $\mathbb{R} = ]-\infty; +\infty[.$

📖 4. Intersection et réunion

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’intersection de deux intervalles I et J, notée $I \cap J$, est l’ensemble des réels appartenant à I et à J.
• Réunion : La réunion de deux intervalles I et J, notée $I \cup J$, est l’ensemble des réels appartenant à I, à J ou aux deux.

💡 Astuce mémo

Intersection : dans les deux ; réunion : dans l’un ou l’autre

📖 5. Distance et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance : La distance entre deux réels a et b est la distance entre les points d’abscisses a et b et vaut $d(a;b)=|a-b|$.
• Valeur absolue : La valeur absolue d’un nombre a est sa distance à zéro : $|a|=d(a;0)$.

★ À maîtriser

📌 Si $a \geq 0$, alors $|a|=a$, et si $a<0$, alors $|a|=-a$.

Compléments

• La distance entre -2,7 et 3,2 vaut $|-2{,}7-3{,}2|=5{,}9$.

📐 Formule - Pour tout réel a, $|a|=\sqrt{a^2}$.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure le chemin entre un nombre et zéro sur la droite

📖 6. Longueur centre et rayon

🔑 Notions clés & Définitions

• Longueur d’intervalle : Pour a < b, la longueur de l’intervalle [a; b] est $L=b-a$.
• Centre d’intervalle : Pour a < b, le centre de [a; b] est $c=\frac{a+b}{2}$.
• Rayon d’intervalle : Pour a < b, le rayon de [a; b] vaut $r=\frac{L}{2}=\frac{b-a}{2}$.

📝 Points essentiels

• Les solutions de $|x-2|=5$ sont -3 et 7.

📐 Formule - $|x-2| \leq 5 \iff x \in [-3;7]$.

• L’intervalle [-1; 5] a pour centre 2 et pour rayon 3, donc $x \in [-1;5] \iff |x-2| \leq 3$.

💡 Astuce mémo

Le centre partage l’intervalle en deux rayons égaux