Fiche de révision : Développements limités et analyse asymptotique

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés en zéro
2. Régularité et formule de Taylor
3. Développements usuels et équivalents
4. Sommes et produits de DL
5. Composition et quotient
6. Intégration et dérivation
7. DL en un point et à l’infini
8. Applications aux limites et courbes

📖 1. Définition et propriétés en zéro

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : une écriture $f(x)=P_n(x)+x^n\varepsilon(x)=P_n(x)+o(x^n)$ où P_n est un polynôme de degré au plus n et où ε(x) tend vers 0 quand x tend vers 0.

★ À maîtriser

📌 Si un développement limité d’ordre n existe, il est unique et sa troncature à tout ordre p≤n s’obtient en conservant les termes jusqu’au degré p.

Compléments

📌 Si f est paire, la partie régulière de son développement limité ne contient que des puissances paires, tandis que si f est impaire, elle ne contient que des puissances impaires.

💡 Astuce mémo

Définir, unicité, tronquer, exploiter la parité

📖 2. Régularité et formule de Taylor

★ À maîtriser

📌 Un développement limité d’ordre 1 caractérise la dérivabilité en 0 pour une fonction continue en 0, mais un développement limité d’ordre 2 n’implique pas que la fonction soit deux fois dérivable en 0.

📐 Formule — Si f est de classe Cⁿ sur un voisinage de 0, la formule de Taylor-Young donne $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}f^{(k)}(0)+o(x^n)$.

Compléments

• Une fonction admet un DL₀(0) si et seulement si elle possède une limite finie en 0, et ce DL permet de la prolonger par continuité si elle n’est pas définie en 0.

💡 Astuce mémo

DL₂ n’implique pas deux dérivées, tandis que Cⁿ garantit le DLⁿ

📖 3. Développements usuels et équivalents

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les développements usuels comprennent $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$ et $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+o(x^n)$.

📐 Formule — Les fonctions trigonométriques usuelles vérifient $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$ et $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$.

📌 Si le développement limité de f est non nul, alors f est équivalente, au voisinage de 0, au monôme non nul de plus bas degré de sa partie régulière.

💡 Astuce mémo

Le DL détaille, l’équivalent retient le premier monôme non nul

📖 4. Sommes et produits de DL

★ À maîtriser

📌 La somme de deux développements limités se calcule à l’ordre minimal des deux développements en additionnant les parties régulières puis en tronquant les termes d’ordre supérieur.

📌 Le produit de deux développements limités s’obtient en multipliant les parties régulières puis en tronquant le résultat à l’ordre voulu.

Compléments

• Lorsque la constante d’un développement limité est nulle, on factorise la première puissance non nulle de x avant d’effectuer les produits ou les puissances.

💡 Astuce mémo

Additionner, multiplier, tronquer

📖 5. Composition et quotient

📝 Points essentiels

• La composition de deux développements limités est possible au voisinage de 0 si la fonction intérieure tend vers 0, ce qui équivaut à Q(0)=0 pour sa partie régulière Q.

• Si $f(x)=P(x)+o(x^n)$ et $g(x)=Q(x)+o(x^n)$ avec Q(0)=0, alors $f\circ g(x)=\operatorname{tron}_n P(Q(x))+o(x^n)$.

• Pour développer l’inverse d’une fonction g, il faut que sa limite en 0 soit finie et non nulle, c’est-à-dire que le coefficient constant a₀ de son DL soit non nul.

💡 Astuce mémo

Constante intérieure nulle → composition possible ; constante du dénominateur non nulle → inversion possible

📖 6. Intégration et dérivation

📝 Points essentiels

📌 Si f est continue et admet un DL d’ordre n, toute primitive F de f admet un DL d’ordre n+1 obtenu en intégrant les termes et en ajoutant la constante F(0).

📌 Le fait que f soit dérivable et qu’elle admette un DL d’ordre n n’implique pas que f′ admette un DL d’ordre n−1, mais lorsque f′ admet un DL, celui-ci s’obtient en dérivant celui de f.

💡 Astuce mémo

Intégrer un DL est permis ; dériver un DL ne l’est pas automatiquement

📖 7. DL en un point et à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité en a : s’obtient en posant h=x−a et en développant la fonction h↦f(a+h) au voisinage de 0.
• Développement asymptotique : s’obtient en développant f(1/X) au voisinage de X=0, ce qui donne $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{a_k}{x^k}+o\left(\frac{1}{x^n}\right)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si f est de classe Cⁿ au voisinage de a, alors $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{(x-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+o((x-a)^n)$.

💡 Astuce mémo

Changer de variable : h=x−a près de a, X=1/x à l’infini

📖 8. Applications aux limites et courbes

📝 Points essentiels

• Pour calculer une limite, on commence par rechercher un équivalent et isoler les termes responsables d’une éventuelle indétermination avant d’utiliser un développement limité si les théorèmes usuels ne suffisent pas.

📌 Un développement limité d’ordre suffisant en a donne l’équation de la tangente en a grâce à sa partie polynomiale de degré au plus 1, et la position locale de la courbe grâce au signe de la différence avec cette tangente.

📌 À l’infini, un développement asymptotique permet d’identifier une asymptote et la position locale de la courbe en étudiant le signe du terme qui tend vers 0 après soustraction de l’expression simple.

💡 Astuce mémo

Terme dominant → limite, tangente ou asymptote