Développements limités et analyse asymptotique

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés en zéro
2. Régularité et formule de Taylor
3. Développements usuels et équivalents
4. Sommes et produits de DL
5. Composition et quotient
6. Intégration et dérivation
7. DL en un point et à l’infini
8. Applications aux limites et courbes

📖 1. Définition et propriétés en zéro

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : une écriture $f(x)=P_n(x)+x^n\varepsilon(x)=P_n(x)+o(x^n)$ où P_n est un polynôme de degré au plus n et où ε(x) tend vers 0 quand x tend vers 0.

★ À maîtriser

📌 Si un développement limité d’ordre n existe, il est unique et sa troncature à tout ordre p≤n s’obtient en conservant les termes jusqu’au degré p.

Compléments

📌 Si f est paire, la partie régulière de son développement limité ne contient que des puissances paires, tandis que si f est impaire, elle ne contient que des puissances impaires.

💡 Astuce mémo

Définir, unicité, tronquer, exploiter la parité

📖 2. Régularité et formule de Taylor