Fiche de révision : Discriminant et équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Discriminant et factorisation
2. Somme et produit des racines
3. Résolution des équations
4. Équations avec quotients
5. Signe et inéquations du second degré

📖 1. Discriminant et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Pour le polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$, le discriminant est le réel $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, le polynôme n’a aucune racine réelle et n’est pas factorisable sur $\mathbb{R}$.

• Si $\Delta=0$, le polynôme admet la racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ et s’écrit $f(x)=a(x-x_0)^2$.

• Si $\Delta>0$, les racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, et le polynôme s’écrit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

💡 Astuce mémo

Δ négatif : aucune racine réelle ; Δ nul : racine double ; Δ positif : deux racines.

📖 2. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un polynôme du second degré ayant deux racines $x_1$ et $x_2$, leur somme et leur produit vérifient $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $P=x_1x_2=\frac{c}{a}$.

📌 Pour deux réels $S$ et $P$, deux réels $x_1$ et $x_2$ vérifient $x_1+x_2=S$ et $x_1x_2=P$ si et seulement si ce sont les racines de $x^2-Sx+P$.

Compléments

📌 Si une racine d’un polynôme du second degré est connue, l’autre peut être déterminée à l’aide de la somme ou du produit des racines.

• Le système $x+y=8$ et $xy=11$ admet le couple $\left(4-\sqrt5\,;4+\sqrt5\right)$ comme solution.

📖 3. Résolution des équations

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation du second degré, on la transforme en une équation équivalente de la forme $ax^2+bx+c=0$, puis on cherche les racines du polynôme.

Compléments

• L’équation $6x^2+15x=36$ a pour solutions $-4$ et $\frac32$.

💡 Astuce mémo

Mettre à zéro, calculer Δ, déterminer les racines.

📖 4. Équations avec quotients

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation rationnelle, on repère les valeurs interdites, on réduit l’équation à une équation du second degré, puis on élimine les racines interdites.

Compléments

• L’équation $\frac2x-\frac1{2x+1}=\frac45$ interdit $x=0$ et $x=-\frac12$ et admet pour solutions $-\frac58$ et $2$.

💡 Astuce mémo

Exclure les valeurs interdites, résoudre, puis vérifier les solutions.

📖 5. Signe et inéquations du second degré

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, un trinôme du second degré est partout du signe de son coefficient $a$.

📌 Si $\Delta>0$ et si $x_1<x_2$ sont les racines, le trinôme est du signe de $a$ sur $]-\infty;x_1[\cup]x_2;+\infty[$ et du signe de $-a$ sur $]x_1;x_2[$.

Compléments

📌 Si $\Delta=0$, le trinôme s’annule en $x_0=-\frac{b}{2a}$ et garde le signe de $a$ sur $\mathbb{R}$.

• L’inéquation $2\left(x+\frac52\right)(x-9)\le0$ a pour solution $\left[-\frac52;9\right]$.

• Le trinôme $5x^2-4x+2$ a un discriminant négatif et un coefficient directeur positif, donc il est positif sur $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des racines, le signe est celui de a ; entre elles, celui de −a.