Fiche de révision : Symétries et fonctions réciproques

📋 Plan du Cours

1. Symétries des courbes
2. Convexité et points d’inflexion
3. Limites et branches infinies
4. Fonction réciproque et conditions d’existence
5. Propriétés de la fonction réciproque

📖 1. Symétries des courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe de symétrie : La droite d’équation $x=a$ est un axe de symétrie de la courbe de f si, pour tout x du domaine D, $2a-x\in D$ et $f(2a-x)=f(x)$.
• Centre de symétrie : Le point $I(a,b)$ est un centre de symétrie de la courbe de f si, pour tout x du domaine D, $2a-x\in D$ et $f(2a-x)+f(x)=2b$.

💡 Astuce mémo

Axe : miroir autour d’une droite ; centre : demi-tour autour d’un point

📖 2. Convexité et points d’inflexion

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : sur un intervalle lorsque sa courbe y est située au-dessus de chacune de ses tangentes
• Fonction concave : sur un intervalle lorsque sa courbe y est située au-dessous de chacune de ses tangentes
• Point d’inflexion : un point où la courbe change de concavité

★ À maîtriser

📌 Si $f''(x)\geq 0$ sur un intervalle I, alors la courbe de f est convexe sur I.

Compléments

📌 Si $f''(x)\leq 0$ sur un intervalle I, alors la courbe de f est concave sur I.

📌 Si $f''$ s’annule en changeant de signe en $x_0$, alors la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse $x_0$.

💡 Astuce mémo

Convexe au-dessus des tangentes ; concave au-dessous

📖 3. Limites et branches infinies

★ À maîtriser

• Si $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$, alors la courbe de f admet une asymptote verticale d’équation $x=a$.

• Si $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=a$, alors la courbe de f admet une asymptote horizontale d’équation $y=a$ au voisinage de l’infini considéré.

• Si $\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$, alors la courbe de f admet l’asymptote oblique $y=ax+b$ au voisinage de l’infini considéré.

Compléments

📌 Si $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty$ et $\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=a\neq 0$, alors la courbe admet une branche parabolique de direction $y=ax$.

📖 4. Fonction réciproque et conditions d’existence

★ À maîtriser

📌 Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors elle admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur $f(I)$.

Compléments

• Pour déterminer $f^{-1}(x)$, on pose $y=f^{-1}(x)$, on résout l’équation $f(y)=x$ en y, puis on exprime la solution en fonction de x.

💡 Astuce mémo

Continue et strictement monotone → réciproque sur l’image

📖 5. Propriétés de la fonction réciproque

★ À maîtriser

📌 Si f est continue et strictement monotone sur I, dérivable sur I, et si $f'$ ne s’annule pas sur I, alors $f^{-1}$ est dérivable sur $f(I)$ et $(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$.

• Dans un repère orthonormé, la courbe de $f^{-1}$ est le symétrique de la courbe de f par rapport à la droite $y=x$.

Compléments

📌 Si $y_0=f(x_0)$, si f est dérivable en $x_0$ et si $f'(x_0)\neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$ et $(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$.

📌 La fonction réciproque $f^{-1}$ est strictement monotone sur $f(I)$ et varie dans le même sens que f.

• Un point $(a,b)$ de la courbe de f correspond au point $(b,a)$ sur la courbe de $f^{-1}$.

• Une asymptote verticale $x=a$ de la courbe de f correspond à une asymptote horizontale $y=a$ de la courbe de $f^{-1}$, et réciproquement.

💡 Astuce mémo

Les deux courbes se reflètent de part et d’autre de la droite y = x

📊 Tableaux de synthèse

Convexité et dérivée seconde