QCM : Symétries et fonctions réciproques (13 questions)

Question 1

1. Quelle condition caractérise la droite $x=a$ comme axe de symétrie de la courbe de $f$ ?

Pour tout

x\in D

,

2a-x\in D

et $$f(2a-x)+f(x)=2a$.

Pour tout

x\in D

,

2a-x\in D

et $$f(2a-x)=-f(x)$.

Pour tout

x\in D

,

2a-x\in D

et $$f(2a-x)+f(x)=0$.

Pour tout

x\in D

,

2a-x\in D

et $$f(2a-x)=f(x)$.

Explication

La symétrie axiale par rapport à $x=a$ impose des abscisses symétriques dans le domaine et des valeurs de fonction égales. La relation de somme nulle décrit plutôt une symétrie centrale particulière, pas un axe de symétrie.

Answer

Pour tout $$x\in D$$, $$2a-x\in D$$ et $$f(2a-x)=f(x)$.

Question 2

2. Pour qu’un point $I(a,b)$ soit centre de symétrie de la courbe de $f$ , quelle relation doit être vérifiée pour tout $x\in D$ ?

2a-x\in D

et $$f(2a-x)+f(x)=2b$.

2a-x\in D

et $$f(2a-x)+f(x)=2a$.

2a-x\in D

et $$f(2a-x)-f(x)=2b$.

2a-x\in D

et $$f(2a-x)=f(x)$.

Explication

La symétrie centrale de centre $I(a,b)$ exige que les abscisses associées $x$ et $2a-x$ soient dans le domaine et que leurs ordonnées aient pour moyenne $b$ . L’égalité des valeurs de fonction caractérise plutôt une symétrie par rapport à une droite verticale.

Answer

$$2a-x\in D$$ et $$f(2a-x)+f(x)=2b$.

Question 3

3. Comment reconnaît-on géométriquement qu’une fonction est convexe sur un intervalle ?

Sa courbe coupe chacune de ses tangentes sur l’intervalle.

Sa courbe reste à distance constante de chacune de ses tangentes sur l’intervalle.

Sa courbe est située au-dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle.

Sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur l’intervalle.

Explication

Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de toutes ses tangentes sur l’intervalle considéré. La position au-dessous des tangentes caractérise la concavité.

Answer

Sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur l’intervalle.

Question 4

4. Sur un intervalle $I$ , que peut-on conclure si $f''(x)\geq 0$ pour tout $x\in I$ ?

La courbe de

f

admet un point d’inflexion en chaque point de

I

.

La courbe de

f

est convexe sur

I

.

La courbe de

f

possède une asymptote horizontale sur

I

.

La courbe de

f

est concave sur

I

.

Explication

Une dérivée seconde positive ou nulle sur l’intervalle entraîne la convexité de la courbe. La condition inverse, $f''(x)\leq 0$ , correspond à la concavité.

Answer

La courbe de $$f$$ est convexe sur $$I$$.

Question 5

5. Quelle propriété géométrique définit une fonction concave sur un intervalle ?

Sa courbe est parallèle à chacune de ses tangentes sur l’intervalle.

Sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur l’intervalle.

Sa courbe change de concavité en chaque point de l’intervalle.

Sa courbe est située au-dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle.

Explication

Pour une fonction concave, la courbe se situe au-dessous de ses tangentes sur l’intervalle. La position au-dessus des tangentes décrit la convexité.

Answer

Sa courbe est située au-dessous de chacune de ses tangentes sur l’intervalle.

Question 6

6. Quel phénomène caractérise un point d’inflexion de la courbe d’une fonction ?

La courbe y atteint nécessairement un maximum local.

La courbe y présente nécessairement une tangente verticale.

La courbe y devient tangente à l’axe des abscisses.

La courbe y change de concavité.

Explication

Un point d’inflexion est un point où la courbe passe d’une concavité à l’autre. Un extremum local ou une tangente verticale n’est pas la propriété qui définit ce point.

Answer

La courbe y change de concavité.

Question 7

7. Si $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ , quelle asymptote la courbe de $f$ admet-elle ?

Une asymptote verticale d’équation

y=a

.

Une asymptote horizontale d’équation

y=a

.

Une asymptote verticale d’équation

x=a

.

Une asymptote oblique d’équation

y=x+a

.

Explication

Une limite infinie lorsque $x$ tend vers $a$ indique que la droite verticale $x=a$ est une asymptote. Une limite infinie en une valeur finie de $x$ ne caractérise pas une asymptote horizontale.

Answer

Une asymptote verticale d’équation $$x=a$$.

Question 8

8. Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$ , quelle asymptote la courbe de $f$ admet-elle au voisinage de $+\infty$ ?

Une asymptote horizontale d’équation

y=a

.

Une asymptote horizontale d’équation

x=a

.

Une asymptote verticale d’équation

x=a

.

Une asymptote oblique d’équation

y=ax

.

Explication

Lorsque la fonction tend vers la valeur finie $a$ à l’infini, sa courbe se rapproche de la droite horizontale $y=a$ . La droite $x=a$ est verticale et correspond plutôt à une limite infinie en une abscisse finie.

Answer

Une asymptote horizontale d’équation $$y=a$$.

Question 9

9. À l’infini considéré, quelle condition garantit que la droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ ?

$$\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-(ax+b)\bigr]=b$.

$$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=a$.

$$\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-(ax+b)\bigr]=0$.

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=a\neq 0$.

Explication

La différence entre la fonction et la droite doit tendre vers zéro pour que la droite soit une asymptote oblique. Une limite non nulle du rapport $f(x)/x$ ne suffit pas à établir cette proximité.

Answer

$$\lim_{x\to\pm\infty}\bigl[f(x)-(ax+b)\bigr]=0$.

Question 10

10. Si une fonction continue et strictement monotone est définie sur un intervalle $I$ , sur quel ensemble sa fonction réciproque est-elle définie ?

Sur l’intervalle

I

où la fonction initiale est définie.

Sur l’ensemble des nombres réels où la fonction est dérivable.

Sur l’ensemble des valeurs où la fonction initiale s’annule.

Sur l’image

f(I)

de l’intervalle par la fonction.

Explication

La continuité et la stricte monotonie sur $I$ garantissent l’existence de la réciproque, dont le domaine est $f(I)$ . L’intervalle $I$ est le domaine de $f$ , et non celui de sa réciproque.

Answer

Sur l’image $$f(I)$$ de l’intervalle par la fonction.

Question 11

11. Pour calculer la fonction réciproque d’une fonction donnée par $f(y)=y^2+1$ sur $y\geq 0$ , quelle démarche permet de déterminer $f^{-1}(x)$ ?

Résoudre

y^2+1=0

en

y

, puis remplacer la solution dans l’expression de

f

.

Calculer

f'(y)

, puis prendre l’inverse multiplicatif de cette dérivée.

Poser

x=y^2+1

, résoudre en

y

, puis exprimer la solution en fonction de

x

.

Poser

y=x^2+1

, puis échanger les variables sans résoudre l’équation.

Explication

On résout l’équation $f(y)=x$ en $y$ et on exprime la solution en fonction de $x$ ; ici, la contrainte $y\geq 0$ permet de retenir la racine positive. Résoudre $y^2+1=0$ ne détermine pas les antécédents d’une valeur générale $x$ .

Answer

Poser $$x=y^2+1$$, résoudre en $$y$$, puis exprimer la solution en fonction de $$x$$.

Question 12

12. Si $f$ est dérivable et strictement monotone, et si sa dérivée ne s’annule pas, quelle formule donne la dérivée de sa réciproque en $x\in f(I)$ ?

f'(f^{-1}(x))

-f'(f^{-1}(x))

\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

\frac{1}{f'(x)}

Explication

La dérivée de la réciproque en $x$ est l’inverse de la dérivée de $f$ évaluée en $f^{-1}(x)$ . L’expression $1/f'(x)$ évalue la dérivée de $f$ au point $x$ , qui n’est pas nécessairement l’antécédent recherché.

Answer

$$\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$

Question 13

13. Dans un repère orthonormé, quelle transformation géométrique permet d’obtenir la courbe de $f^{-1}$ à partir de celle de $f$ ?

La symétrie par rapport à la droite

y=x

.

La translation d’une unité selon la diagonale

y=x

.

La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

La symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

Explication

Les coordonnées de chaque point de la courbe sont échangées pour la fonction réciproque, ce qui correspond à une symétrie par rapport à $y=x$ . Une symétrie par rapport à un axe ne réalise pas cet échange général des coordonnées.

Answer

La symétrie par rapport à la droite $$y=x$$.

QCM : Symétries et fonctions réciproques (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise la droite $x=a$ comme axe de symétrie de la courbe de $f$ ?

2. Pour qu’un point $I(a,b)$ soit centre de symétrie de la courbe de $f$ , quelle relation doit être vérifiée pour tout $x\in D$ ?

3. Comment reconnaît-on géométriquement qu’une fonction est convexe sur un intervalle ?

4. Sur un intervalle $I$ , que peut-on conclure si $f''(x)\geq 0$ pour tout $x\in I$ ?

5. Quelle propriété géométrique définit une fonction concave sur un intervalle ?

6. Quel phénomène caractérise un point d’inflexion de la courbe d’une fonction ?

7. Si $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ , quelle asymptote la courbe de $f$ admet-elle ?

8. Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$ , quelle asymptote la courbe de $f$ admet-elle au voisinage de $+\infty$ ?

9. À l’infini considéré, quelle condition garantit que la droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ ?

10. Si une fonction continue et strictement monotone est définie sur un intervalle $I$ , sur quel ensemble sa fonction réciproque est-elle définie ?

11. Pour calculer la fonction réciproque d’une fonction donnée par $f(y)=y^2+1$ sur $y\geq 0$ , quelle démarche permet de déterminer $f^{-1}(x)$ ?

12. Si $f$ est dérivable et strictement monotone, et si sa dérivée ne s’annule pas, quelle formule donne la dérivée de sa réciproque en $x\in f(I)$ ?

13. Dans un repère orthonormé, quelle transformation géométrique permet d’obtenir la courbe de $f^{-1}$ à partir de celle de $f$ ?

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QCM : Symétries et fonctions réciproques (13 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise la droite x=ax=ax=a comme axe de symétrie de la courbe de fff ?

2. Pour qu’un point I(a,b)I(a,b)I(a,b) soit centre de symétrie de la courbe de fff, quelle relation doit être vérifiée pour tout x∈Dx\in Dx∈D ?

3. Comment reconnaît-on géométriquement qu’une fonction est convexe sur un intervalle ?

4. Sur un intervalle III, que peut-on conclure si f′′(x)≥0f''(x)\geq 0f′′(x)≥0 pour tout x∈Ix\in Ix∈I ?

5. Quelle propriété géométrique définit une fonction concave sur un intervalle ?

6. Quel phénomène caractérise un point d’inflexion de la courbe d’une fonction ?

7. Si lim⁡x→af(x)=+∞\lim_{x\to a}f(x)=+\inftylimx→a​f(x)=+∞, quelle asymptote la courbe de fff admet-elle ?

8. Si lim⁡x→+∞f(x)=a\lim_{x\to+\infty}f(x)=alimx→+∞​f(x)=a, quelle asymptote la courbe de fff admet-elle au voisinage de +∞+\infty+∞ ?

9. À l’infini considéré, quelle condition garantit que la droite y=ax+by=ax+by=ax+b est une asymptote oblique à la courbe de fff ?

10. Si une fonction continue et strictement monotone est définie sur un intervalle III, sur quel ensemble sa fonction réciproque est-elle définie ?

11. Pour calculer la fonction réciproque d’une fonction donnée par f(y)=y2+1f(y)=y^2+1f(y)=y2+1 sur y≥0y\geq 0y≥0, quelle démarche permet de déterminer f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x) ?

12. Si fff est dérivable et strictement monotone, et si sa dérivée ne s’annule pas, quelle formule donne la dérivée de sa réciproque en x∈f(I)x\in f(I)x∈f(I) ?

13. Dans un repère orthonormé, quelle transformation géométrique permet d’obtenir la courbe de f−1f^{-1}f−1 à partir de celle de fff ?

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1. Quelle condition caractérise la droite $x=a$ comme axe de symétrie de la courbe de $f$ ?

2. Pour qu’un point $I(a,b)$ soit centre de symétrie de la courbe de $f$ , quelle relation doit être vérifiée pour tout $x\in D$ ?

4. Sur un intervalle $I$ , que peut-on conclure si $f''(x)\geq 0$ pour tout $x\in I$ ?

7. Si $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ , quelle asymptote la courbe de $f$ admet-elle ?

8. Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$ , quelle asymptote la courbe de $f$ admet-elle au voisinage de $+\infty$ ?

9. À l’infini considéré, quelle condition garantit que la droite $y=ax+b$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ ?

10. Si une fonction continue et strictement monotone est définie sur un intervalle $I$ , sur quel ensemble sa fonction réciproque est-elle définie ?

11. Pour calculer la fonction réciproque d’une fonction donnée par $f(y)=y^2+1$ sur $y\geq 0$ , quelle démarche permet de déterminer $f^{-1}(x)$ ?

12. Si $f$ est dérivable et strictement monotone, et si sa dérivée ne s’annule pas, quelle formule donne la dérivée de sa réciproque en $x\in f(I)$ ?

13. Dans un repère orthonormé, quelle transformation géométrique permet d’obtenir la courbe de $f^{-1}$ à partir de celle de $f$ ?