QCM : Discriminant et équations du second degré (9 questions)

Question 1

1. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle expression définit le discriminant ?

b^2-4ac

4ac-b

b^2+4ac

b-4ac^2

Explication

Le discriminant d’un polynôme du second degré de cette forme est $\Delta=b^2-4ac$ . L’expression $b^2+4ac$ change le signe du terme en $4ac$ et ne définit donc pas le discriminant.

Answer

$$b^2-4ac$$

Question 2

2. Un polynôme du second degré vérifie $\Delta=0$ et a pour coefficients $a=2$ et $b=-8$ . Quelle est sa factorisation ?

2(x-2)^2

2(x+4)^2

2(x+2)^2

2(x-4)^2

Explication

Quand $\Delta=0$ , la racine double vaut $x_0=-\frac{b}{2a}=2$ , d’où la factorisation $2(x-2)^2$ . La forme $2(x+2)^2$ correspondrait à une racine double égale à $-2$ .

Answer

$$2(x-2)^2$$

Question 3

3. Pour un polynôme $ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelles relations donnent leur somme $S$ et leur produit $P$ ?

S=\frac{c}{a}

et

P=-\frac{b}{a}

S=-\frac{b}{a}

et

P=\frac{c}{a}

S=-\frac{c}{a}

et

P=\frac{b}{a}

S=\frac{b}{a}

et

P=-\frac{c}{a}

Explication

Les relations entre coefficients et racines sont $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$ . Le signe négatif concerne la somme, tandis que le produit est égal à $\frac{c}{a}$ .

Answer

$$S=-\frac{b}{a}$$ et $$P=\frac{c}{a}$$

Question 4

4. Deux réels $x_1$ et $x_2$ ont pour somme $S$ et pour produit $P$ . De quel polynôme sont-ils les racines ?

x^2-Sx-P

x^2-Sx+P

x^2+Sx+P

x^2+Px-S

Explication

Le polynôme unitaire associé à une somme des racines $S$ et à un produit $P$ est $x^2-Sx+P$ . Le polynôme $x^2+Sx+P$ aurait une somme des racines égale à $-S$ .

Answer

$$x^2-Sx+P$$

Question 5

5. Que signifie transformer une équation du second degré en une équation équivalente de la forme $ax^2+bx+c=0$ avant de la résoudre ?

Factoriser chaque membre séparément, puis retenir les racines de l’expression de gauche.

Réécrire l’équation sans changer ses solutions, puis chercher les racines du trinôme obtenu.

Remplacer l’équation par son discriminant, puis résoudre l’équation

\Delta=0

.

Diviser l’équation par

x

afin de la ramener à une équation du premier degré.

Explication

Une équation équivalente conserve exactement les mêmes solutions, et la forme nulle permet de chercher les racines du polynôme du second degré. Calculer le discriminant peut aider à déterminer ces racines, mais cela ne remplace pas la mise sous forme équivalente.

Answer

Réécrire l’équation sans changer ses solutions, puis chercher les racines du trinôme obtenu.

Question 6

6. Dans l’équation $\frac{2}{x}-\frac{1}{2x+1}=\frac{4}{5}$ , quelles sont les valeurs interdites à exclure avant la résolution ?

x=0

et

x=-2

x=-2

et

x=-\frac{1}{2}

x=0

et

x=-\frac{1}{2}

x=0

et

x=\frac{1}{2}

Explication

Les dénominateurs s’annulent pour $x=0$ et pour $2x+1=0$ , soit $x=-\frac{1}{2}$ . La valeur $x=-2$ , par exemple, n’annule aucun des deux dénominateurs.

Answer

$$x=0$$ et $$x=-\frac{1}{2}$$

Question 7

7. Quel rôle joue le coefficient $a$ dans la détermination du signe d’un trinôme du second degré lorsque son discriminant est négatif ?

Il indique le signe que le trinôme conserve sur tout l’ensemble des réels.

Il détermine le signe du trinôme entre deux racines réelles distinctes.

Il permet de choisir lequel des deux intervalles extérieurs est positif.

Il fixe la valeur de l’unique point où le trinôme s’annule.

Explication

Lorsque le discriminant est négatif, le trinôme ne possède pas de racine réelle et garde partout le signe de son coefficient $a$ . La règle des intervalles intérieurs et extérieurs concerne plutôt un trinôme dont le discriminant est positif.

Answer

Il indique le signe que le trinôme conserve sur tout l’ensemble des réels.

Question 8

8. En quoi la factorisation d’un trinôme diffère-t-elle selon que son discriminant est nul ou strictement positif ?

Avec un discriminant nul, il comporte un facteur linéaire au carré ; avec un discriminant positif, il comporte deux facteurs linéaires associés à des racines distinctes.

Avec un discriminant nul, il comporte deux facteurs linéaires distincts ; avec un discriminant positif, il comporte un facteur linéaire au carré.

Avec un discriminant nul, il ne se factorise pas sur les réels ; avec un discriminant positif, il comporte un facteur linéaire au carré.

Avec un discriminant nul, il comporte un facteur linéaire au carré ; avec un discriminant positif, il ne se factorise pas sur les réels.

Explication

Lorsque le discriminant est nul, le trinôme possède une racine double et s’écrit comme un carré de facteur linéaire. Lorsqu’il est positif, il possède deux racines réelles distinctes et se factorise en deux facteurs linéaires correspondants.

Answer

Avec un discriminant nul, il comporte un facteur linéaire au carré ; avec un discriminant positif, il comporte deux facteurs linéaires associés à des racines distinctes.

Question 9

9. Si l’une des racines d’un polynôme du second degré est connue, quelle conséquence de la relation entre les racines permet de déterminer l’autre ?

La factorisation impose que la racine manquante soit l’opposée de la racine connue.

Le discriminant permet de retrouver la racine manquante sans connaître les coefficients du polynôme.

La somme des coefficients permet de retrouver la racine manquante, indépendamment des racines.

La somme ou le produit des racines, calculé à partir des coefficients, permet de retrouver la racine manquante.

Explication

Les relations entre somme, produit et coefficients fournissent une équation où la racine connue permet de calculer l’autre. Le discriminant sert à déterminer les racines à partir des coefficients, mais ne suffit pas, à lui seul, dans les conditions décrites.

Answer

La somme ou le produit des racines, calculé à partir des coefficients, permet de retrouver la racine manquante.

QCM : Discriminant et équations du second degré (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle expression définit le discriminant ?

2. Un polynôme du second degré vérifie $\Delta=0$ et a pour coefficients $a=2$ et $b=-8$ . Quelle est sa factorisation ?

3. Pour un polynôme $ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelles relations donnent leur somme $S$ et leur produit $P$ ?

4. Deux réels $x_1$ et $x_2$ ont pour somme $S$ et pour produit $P$ . De quel polynôme sont-ils les racines ?

5. Que signifie transformer une équation du second degré en une équation équivalente de la forme $ax^2+bx+c=0$ avant de la résoudre ?

6. Dans l’équation $\frac{2}{x}-\frac{1}{2x+1}=\frac{4}{5}$ , quelles sont les valeurs interdites à exclure avant la résolution ?

7. Quel rôle joue le coefficient $a$ dans la détermination du signe d’un trinôme du second degré lorsque son discriminant est négatif ?

8. En quoi la factorisation d’un trinôme diffère-t-elle selon que son discriminant est nul ou strictement positif ?

9. Si l’une des racines d’un polynôme du second degré est connue, quelle conséquence de la relation entre les racines permet de déterminer l’autre ?

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QCM : Discriminant et équations du second degré (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, quelle expression définit le discriminant ?

2. Un polynôme du second degré vérifie Δ=0\Delta=0Δ=0 et a pour coefficients a=2a=2a=2 et b=−8b=-8b=−8. Quelle est sa factorisation ?

3. Pour un polynôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c ayant deux racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​, quelles relations donnent leur somme SSS et leur produit PPP ?

4. Deux réels x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ont pour somme SSS et pour produit PPP. De quel polynôme sont-ils les racines ?

5. Que signifie transformer une équation du second degré en une équation équivalente de la forme ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 avant de la résoudre ?

6. Dans l’équation 2x−12x+1=45\frac{2}{x}-\frac{1}{2x+1}=\frac{4}{5}x2​−2x+11​=54​, quelles sont les valeurs interdites à exclure avant la résolution ?

7. Quel rôle joue le coefficient aaa dans la détermination du signe d’un trinôme du second degré lorsque son discriminant est négatif ?

8. En quoi la factorisation d’un trinôme diffère-t-elle selon que son discriminant est nul ou strictement positif ?

9. Si l’une des racines d’un polynôme du second degré est connue, quelle conséquence de la relation entre les racines permet de déterminer l’autre ?

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1. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle expression définit le discriminant ?

2. Un polynôme du second degré vérifie $\Delta=0$ et a pour coefficients $a=2$ et $b=-8$ . Quelle est sa factorisation ?

3. Pour un polynôme $ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelles relations donnent leur somme $S$ et leur produit $P$ ?

4. Deux réels $x_1$ et $x_2$ ont pour somme $S$ et pour produit $P$ . De quel polynôme sont-ils les racines ?

5. Que signifie transformer une équation du second degré en une équation équivalente de la forme $ax^2+bx+c=0$ avant de la résoudre ?

6. Dans l’équation $\frac{2}{x}-\frac{1}{2x+1}=\frac{4}{5}$ , quelles sont les valeurs interdites à exclure avant la résolution ?

7. Quel rôle joue le coefficient $a$ dans la détermination du signe d’un trinôme du second degré lorsque son discriminant est négatif ?