Discriminant et équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Discriminant et factorisation
2. Somme et produit des racines
3. Résolution des équations
4. Équations avec quotients
5. Signe et inéquations du second degré

📖 1. Discriminant et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Pour le polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$, le discriminant est le réel $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, le polynôme n’a aucune racine réelle et n’est pas factorisable sur $\mathbb{R}$.

• Si $\Delta=0$, le polynôme admet la racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ et s’écrit $f(x)=a(x-x_0)^2$.

• Si $\Delta>0$, les racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, et le polynôme s’écrit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

💡 Astuce mémo

Δ négatif : aucune racine réelle ; Δ nul : racine double ; Δ positif : deux racines.

📖 2. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un polynôme du second degré ayant deux racines $x_1$ et $x_2$, leur somme et leur produit vérifient $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $P=x_1x_2=\frac{c}{a}$.

📌 Pour deux réels $S$ et $P$, deux réels $x_1$ et $x_2$ vérifient $x_1+x_2=S$ et $x_1x_2=P$ si et seulement si ce sont les racines de $x^2-Sx+P$.

Compléments