Fiche de révision : Distances et lieux géométriques

📋 Plan du Cours

1. Distances géométriques
2. Lieux géométriques de référence
3. Médiatrice et équidistance
4. Bissectrice et équidistance
5. Cercles circonscrit et inscrit
6. Centre et rayon du cercle inscrit
7. Applications des lieux géométriques
8. Méthodes de construction des centres

📖 1. Distances géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance entre deux points : Longueur du segment de droite qui relie les deux points, notée $d(A,B)=|AB|$.
• Distance d’un point à une droite : Mesure entre ce point et le pied de la perpendiculaire à la droite passant par ce point.
• Distance entre deux droites parallèles : Mesure d’un segment perpendiculaire aux deux droites et limité par celles-ci.

📖 2. Lieux géométriques de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Lieu géométrique : Ensemble des points qui possèdent une même propriété géométrique.

★ À maîtriser

• Le lieu des points du plan situés à une distance r d’un point fixe M est le cercle de centre M et de rayon r.

• Le lieu des points du plan équidistants de deux points distincts est la médiatrice du segment ayant ces points pour extrémités.

Compléments

• Le lieu des points du plan équidistants de trois points distincts non alignés est le centre du cercle circonscrit au triangle formé par ces points.

• Le lieu des points du plan situés à une distance r d’une droite d est constitué des deux droites parallèles à d, de part et d’autre, à la distance r de d.

• Le lieu des points du plan équidistants de deux droites parallèles est la parallèle aux deux droites qui en est équidistante.

• Le lieu des points du plan équidistants de deux droites sécantes est constitué des deux bissectrices des angles formés par ces droites.

📖 3. Médiatrice et équidistance

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiatrice : Droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.

📝 Points essentiels

📌 Si P appartient à la médiatrice du segment [AB], alors PA = PB.

📌 Si un point P est équidistant des extrémités A et B d’un segment, alors P appartient à la médiatrice de [AB].

📖 4. Bissectrice et équidistance

🔑 Notions clés & Définitions

• Bissectrice : Droite qui passe par son sommet et le partage en deux angles de même amplitude.

📝 Points essentiels

📌 Tout point du plan équidistant des côtés d’un angle ou de leurs prolongements appartient à la bissectrice de cet angle ou à celle de son angle supplémentaire.

📖 5. Cercles circonscrit et inscrit

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle circonscrit : Cercle qui passe par les trois sommets de ce triangle.
• Cercle inscrit : Cercle tangent aux trois côtés de ce triangle.

★ À maîtriser

• Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point d’intersection des médiatrices de ses côtés.

Compléments

• Le rayon du cercle circonscrit à un triangle est la distance entre son centre et un sommet.

💡 Astuce mémo

Le cercle circonscrit passe par les sommets ; le cercle inscrit touche les côtés.

📖 6. Centre et rayon du cercle inscrit

★ À maîtriser

• Le centre du cercle inscrit d’un triangle est le point d’intersection des bissectrices de ses angles.

Compléments

• Le rayon du cercle inscrit est la distance entre son centre et un côté du triangle.

📖 7. Applications des lieux géométriques

★ À maîtriser

📌 Si trois points distincts A, B et C vérifient AB = BC, alors B appartient à la médiatrice de [AC], mais n’est pas nécessairement le milieu de [AC].

📌 Le lieu des points situés à 12 cm d’un point fixe est le cercle de centre ce point et de rayon 12 cm, et non le disque.

Compléments

• Deux droites sécantes déterminent quatre points situés à 2 cm de chacune des deux droites.

• Dans un cercle, deux cordes isométriques sont à égale distance du centre.

• Dans un triangle rectangle ABC en A avec AB = 4 cm et AC = 3 cm, la distance de B à la droite AC est 4 cm et celle de C à la droite AB est 3 cm.

• Un triangle d’aire 6 cm² dont la base mesure 6 cm a une hauteur de 2 cm.

📖 8. Méthodes de construction des centres

★ À maîtriser

• Les points équidistants d’un point fixe forment un cercle centré en ce point, de rayon égal à la distance imposée.

• Les points équidistants de deux points appartiennent à la médiatrice du segment qui les relie.

• Les points équidistants de deux droites sécantes appartiennent à l’une des deux bissectrices des angles qu’elles déterminent.

• Pour trouver le centre d’un cercle, on inscrit un triangle dans le cercle, puis on construit deux médiatrices des côtés de ce triangle ; leur intersection est le centre du cercle.

Compléments

• Les points équidistants de trois points non alignés se trouvent à l’intersection de deux médiatrices du triangle qu’ils déterminent.

• Les points équidistants d’une droite sont situés sur les deux parallèles à cette droite, à la distance imposée.

• Les points équidistants de deux droites parallèles appartiennent à la droite parallèle située à mi-distance des deux droites.

• Un point équidistant de trois droites sécantes deux à deux déterminant un triangle est à l’intersection de deux bissectrices intérieures ou extérieures de ce triangle et constitue le centre du cercle inscrit ou de l’un des cercles exinscrits à ce triangle.

💡 Astuce mémo

Triangle inscrit → deux médiatrices → centre du cercle.

📊 Tableaux de synthèse

Cercle circonscrit et cercle inscrit