Fiche de révision : Lois de probabilité

📋 Plan du Cours

1. Variables aléatoires et types de lois
2. Loi de Bernoulli
3. Loi binomiale
4. Loi binomiale et approximation normale
5. Loi de Poisson
6. Lois uniformes et normales
7. Lois du chi carré et quantiles
8. Loi de Student

📖 1. Variables aléatoires et types de lois

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Grandeur qui représente mathématiquement un phénomène aléatoire.
• Distribution de probabilité : La distribution de probabilité d’une variable aléatoire caractérise les valeurs qu’elle peut prendre et la probabilité associée à chacune.

★ À maîtriser

📌 Une loi discrète décrit les probabilités des valeurs appartenant à un ensemble fini ou dénombrable, pas nécessairement entières ni positives, d’une variable aléatoire, tandis qu’une loi continue concerne une variable pouvant prendre des valeurs non dénombrables, telles que celles de ℝ ou de ℝ+.

Compléments

• Les paramètres d’une distribution peuvent être estimés à partir d’un échantillon de réalisations observées.

• Les exemples de lois discrètes sont les lois de Bernoulli, binomiale et de Poisson, cette dernière concernant des événements rares.

• Les exemples de lois continues sont :

  • la loi normale
  • la loi du khi carré (χ²)
  • la loi de Student

💡 Astuce mémo

Valeurs dénombrables pour le discret, valeurs non dénombrables pour le continu

📖 2. Loi de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve de Bernoulli : Expérience qui n’a que deux résultats possibles : la réussite, ou présence de la caractéristique, et l’échec, ou absence de la caractéristique.

★ À maîtriser

• La variable aléatoire X associée à une épreuve de Bernoulli vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec.

📐 Formule - Pour une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p, $P(X=1)=p$ et $P(X=0)=1-p$.

Compléments

📐 Formule - Pour une variable de Bernoulli de probabilité de succès p, $E(X)=p$.

💡 Astuce mémo

0 correspond à l’échec, 1 au succès

📖 3. Loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Loi du nombre de succès obtenus lors de n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès p ; on la note B(n,p).

★ À maîtriser

📐 Formule - Si X suit la loi binomiale B(n,p), alors, pour k succès, $P(X=k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}$.

Compléments

• Dans la loi binomiale B(n,p), n désigne le nombre de répétitions de l’épreuve de Bernoulli, k le nombre de succès et p la probabilité de succès.

• La loi binomiale est largement utilisée en statistique, notamment en recherche clinique pour analyser les récidives de maladie et les décès dans des essais cliniques.

📖 4. Loi binomiale et approximation normale

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable X suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, l’espérance vaut $E(X)=np$ et la variance vaut $\operatorname{Var}(X)=np(1-p)$.

• Quand n tend vers l’infini, la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ converge vers la loi normale $\mathcal{N}(np,np(1-p))$, et cette convergence est d’autant plus rapide que p est proche de 0,5.

Compléments

• Pour une loi binomiale, le diagramme associé à une probabilité élevée de succès se décale vers les grands nombres de succès, tandis qu’une probabilité élevée d’échec favorise les petits nombres de succès.

• La factorielle de n, notée n!, est le produit des entiers de 1 à n ; par exemple, 3! = 1 × 2 × 3 = 6.

• Pour 12 lancers d’un dé équilibré, avec succès défini par l’obtention d’un 3 ou d’un 6, la probabilité de succès par lancer est $p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ et le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres n=12 et p=1/3.

• Dans l’expérience de 12 lancers où obtenir un 3 ou un 6 est un succès, la probabilité d’obtenir exactement 4 succès est 0,238446.

• Pour 12 lancers où obtenir un 3 ou un 6 est un succès, l’espérance du nombre de succès vaut 4 et sa variance vaut environ 2,67.

📖 5. Loi de Poisson

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Poisson : Décrit le nombre d’événements observés pendant une période donnée lorsque les événements sont indépendants et peu probables.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable X suivant une loi de Poisson de paramètre λ, $P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$, où λ est le nombre moyen d’événements.

📐 Formule - Pour une variable X suivant une loi de Poisson de paramètre λ, $E(X)=\lambda$ et $\operatorname{Var}(X)=\lambda$.

Compléments

• La loi de Poisson ne possède qu’un seul paramètre, λ, qui correspond au nombre moyen d’événements.

• Si le nombre de patients arrivant aux urgences entre 10 h et 14 h suit une loi de Poisson de moyenne 12, la probabilité que 20 patients se présentent est donnée comme égale à 0,968 %.

• Pour une loi de Poisson de moyenne 12, la probabilité que plus de 5 patients se présentent est donnée comme égale à 97,97 %.

📖 6. Lois uniformes et normales

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi uniforme : Une variable X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a,b] lorsque sa densité est constante sur cet intervalle et nulle en dehors.

• Loi normale : Une variable X suit une loi normale de moyenne μ et de variance σ², notée $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, et sa densité est une courbe en cloche symétrique centrée sur μ.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable X uniforme sur [a,b], $E(X)=\frac{a+b}{2}$ et $\operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$.

📐 Formule - Pour une variable X suivant une loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, $E(X)=\mu$ et $\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$.

Compléments

📐 Formule - Pour une loi uniforme sur [a,b], la densité vaut $f_X(x)=\frac{1}{b-a}$ si x appartient à [a,b], et 0 sinon.

• Dans une loi normale, μ règle la position de la courbe et σ² en règle l’étalement.

• Pour une loi normale centrée réduite, la valeur zα recherchée vérifie $P(-z_\alpha<X<z_\alpha)=1-\alpha$ ; elle peut être déterminée à l’aide de la table de la loi normale.

• Dans cette recherche, −zα est le quantile de niveau α/2 et zα celui de niveau 1−α/2 de la loi normale centrée réduite.

📖 7. Lois du chi carré et quantiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi du chi carré : La loi du χ² à N degrés de liberté est la distribution de $X=\sum_{i=1}^{N}Y_i^2$ lorsque les variables Y₁,…,Yₙ sont indépendantes et suivent chacune une loi normale centrée réduite.

• Quantile : Un quantile d’ordre α est un nombre xα tel que la probabilité que X soit inférieure ou égale à xα vaut α, soit $P(X\leq x_\alpha)=\alpha$.

📝 Points essentiels

• Pour une variable X suivant une loi χ² à N degrés de liberté, la valeur xαN recherchée vérifie $P(X>x_\alpha^N)=\alpha$ et correspond au quantile de niveau 1−α.

• Les quantiles généralisent la notion de médiane.

📖 8. Loi de Student

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de Student : La loi de Student à ν degrés de liberté, notée $T(\nu)$, est une loi dérivée de la loi normale qui converge vers la loi normale centrée réduite lorsque ν tend vers l’infini.

★ À maîtriser

• La valeur tαν recherchée vérifie $P(-t_\alpha^\nu<X<t_\alpha^\nu)=1-\alpha$ ; −tαν est le quantile de niveau α/2 et tαν celui de niveau 1−α/2.

Compléments

📐 Formule - Si U suit une loi normale centrée réduite et V une loi χ² à ν degrés de liberté, et si U et V sont indépendantes, alors $X=\frac{U}{\sqrt{V/\nu}}$ suit une loi de Student à ν degrés de liberté.

• La loi de Student sert notamment au calcul d’intervalles de confiance et à la réalisation de tests statistiques.

• Pour une loi de Student à 9 degrés de liberté et α=5 %, la valeur indiquée pour t₀,₀₅⁹ est 2,262.