QCM : Lois de probabilité (11 questions)

Question 1

1. Un capteur mesure une durée pouvant prendre n’importe quelle valeur réelle positive. Quel type de loi convient à cette variable aléatoire ?

Une loi continue, car ses valeurs sont des entiers positifs

Une loi discrète, car ses valeurs peuvent être énumérées

Une loi continue, car les valeurs possibles forment un ensemble non dénombrable

Une loi discrète, car sa variable est définie sur un ensemble fini

Explication

Une loi continue concerne une variable pouvant prendre des valeurs dans un ensemble non dénombrable, comme les réels positifs. Les valeurs énumérables relèvent d’une loi discrète, et la positivité seule ne détermine pas le type de loi.

Answer

Une loi continue, car les valeurs possibles forment un ensemble non dénombrable

Question 2

2. Dans un test, le succès a une probabilité de $0{,}3$ et la variable $X$ vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d’échec. Quelles sont les probabilités de $X=1$ et de $X=0$ , respectivement ?

0{,}3

et

0{,}3

0{,}7

et

0{,}7

0{,}3

et

0{,}7

0{,}7

et

0{,}3

Explication

Pour une variable de Bernoulli, $P(X=1)=p$ et $P(X=0)=1-p$ ; avec $p=0{,}3$ , les probabilités sont donc $0{,}3$ et $0{,}7$ . Les confusions consistent à inverser les issues ou à ne pas attribuer les probabilités complémentaires.

Answer

$$0{,}3$$ et $$0{,}7$$

Question 3

3. Une équipe modélise le résultat incertain d’un tirage au sort par une variable numérique. Quel rôle cette variable joue-t-elle dans le modèle ?

Désigner une valeur observée lors d’une expérience

Décrire les probabilités associées aux valeurs possibles

Résumer un paramètre calculé à partir des observations

Représenter mathématiquement le phénomène aléatoire

Explication

Une variable aléatoire fournit une représentation mathématique d’un phénomène aléatoire. Décrire les probabilités relève de la distribution, une valeur observée est une réalisation et un paramètre peut être estimé à partir de données.

Answer

Représenter mathématiquement le phénomène aléatoire

Question 4

4. Un contrôle classe chaque pièce fabriquée comme conforme ou non conforme. Pourquoi cette expérience peut-elle être modélisée par une épreuve de Bernoulli ?

Elle comporte deux résultats qui doivent être équiprobables

Elle comporte deux résultats possibles : réussite ou échec

Elle consiste nécessairement en plusieurs contrôles indépendants

Elle comporte plusieurs résultats possibles selon le degré de conformité

Explication

Une épreuve de Bernoulli comporte deux résultats possibles, interprétés comme réussite et échec, ici conformité et non-conformité. Plusieurs degrés de conformité ajoutent des résultats, l’équiprobabilité n’est pas requise et la répétition concerne une série d’épreuves.

Answer

Elle comporte deux résultats possibles : réussite ou échec

Question 5

5. Que représente une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ ?

La probabilité de succès d’une seule épreuve répétée

n

fois, sans tenir compte de son résultat

La somme des probabilités de succès de

n

épreuves, même lorsque leurs résultats sont dépendants

Le nombre d’épreuves nécessaires pour obtenir

n

succès, lorsque chaque succès a une probabilité

p

Le nombre de succès parmi

n

épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune de probabilité de succès

p

Explication

La loi binomiale modélise le nombre de succès obtenus lors de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes partageant la même probabilité de succès $p$ . Le nombre d’épreuves requis pour atteindre un nombre fixé de succès décrit plutôt un autre type de modèle.

Answer

Le nombre de succès parmi $$n$$ épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune de probabilité de succès $$p$$

Question 6

6. Pour quelle valeur de la probabilité de succès la loi binomiale converge-t-elle le plus rapidement vers une loi normale, toutes choses égales par ailleurs ?

Pour une probabilité proche de

0{,}25

Pour une probabilité proche de

0

Pour une probabilité proche de

0{,}5

Pour une probabilité proche de

1

Explication

La convergence vers la loi normale est d’autant plus rapide que la probabilité de succès est proche de $0{,}5$ . Une probabilité proche de $0$ ou de $1$ ne correspond pas à la condition indiquée pour accélérer cette convergence.

Answer

Pour une probabilité proche de $$0{,}5$$

Question 7

7. Quel rôle joue le paramètre $\lambda$ dans une loi de Poisson ?

Il mesure la durée de la période pendant laquelle les événements sont observés.

Il fixe le nombre maximal d’événements possibles pendant cette période.

Il indique la probabilité qu’un événement donné se produise pendant cette période.

Il représente le nombre moyen d’événements observés pendant la période considérée.

Explication

Le paramètre $\lambda$ correspond au nombre moyen d’événements et détermine la loi de Poisson. La probabilité d’un événement isolé est une autre notion : $\lambda$ caractérise la moyenne du nombre d’événements.

Answer

Il représente le nombre moyen d’événements observés pendant la période considérée.

Question 8

8. Une variable uniforme est définie sur l’intervalle $[2,8]$ . Quelle est sa variance ?

3

5

12

6

Explication

La variance d’une loi uniforme sur $[a,b]$ vaut $\frac{(b-a)^2}{12}$ , ce qui donne $\frac{(8-2)^2}{12}=3$ . La valeur $5$ correspond à la moyenne de cet intervalle, et non à sa variance.

Answer

Il laisse une probabilité α à droite, tandis que le quantile d’ordre α laisse une probabilité α à gauche.

Answer

Elle converge vers la loi normale centrée réduite.

Answer

Elle prend des valeurs dénombrables, comme des nombres entiers de visiteurs.

Question 9

9. En quoi le quantile supérieur de niveau α d’une loi du chi carré diffère-t-il du quantile d’ordre α ?

Il laisse une probabilité α à droite, tandis que le quantile d’ordre α laisse une probabilité α à gauche.

Il correspond à la médiane, tandis que le quantile d’ordre α correspond à la moyenne.

Il est défini pour une loi normale, tandis que le quantile d’ordre α est défini pour une loi du chi carré.

Il laisse une probabilité α à gauche, tandis que le quantile d’ordre α laisse une probabilité α à droite.

Explication

Le quantile supérieur de niveau α vérifie $P(X>x)=\alpha$ et correspond ainsi au quantile d’ordre $1-\alpha$ . À l’inverse, un quantile d’ordre α vérifie $P(X\leq x)=\alpha$ , ce qui place cette probabilité dans la queue gauche.

Question 10

10. Que se passe-t-il avec la loi de Student lorsque son nombre de degrés de liberté augmente sans limite ?

Elle converge vers une loi du chi carré à un degré de liberté.

Elle devient une loi uniforme sur l’intervalle des valeurs possibles.

Elle conserve une forme distincte de la loi normale, quel que soit le nombre de degrés de liberté.

Elle converge vers la loi normale centrée réduite.

Explication

À mesure que le nombre de degrés de liberté tend vers l’infini, la loi de Student se rapproche de la loi normale centrée réduite. Une loi du chi carré est liée à la construction de Student, mais elle n’est pas la limite de cette distribution.

Question 11

11. Un analyste choisit une loi pour modéliser le nombre de visiteurs arrivant à un site pendant une journée. Quelle propriété de la variable l’aide à décider si une loi discrète convient ?

Elle possède une densité constante sur un intervalle fixé à l’avance.

Elle est nécessairement symétrique autour de sa valeur moyenne.

Elle prend des valeurs dénombrables, comme des nombres entiers de visiteurs.

Elle peut prendre toute valeur réelle positive, y compris des valeurs fractionnaires.

Explication

Un nombre de visiteurs se compte en valeurs dénombrables, ce qui correspond au type de variable décrit par une loi discrète. Une variable prenant toute valeur réelle dans un intervalle relève plutôt d’un modèle continu.

QCM : Lois de probabilité (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un capteur mesure une durée pouvant prendre n’importe quelle valeur réelle positive. Quel type de loi convient à cette variable aléatoire ?

2. Dans un test, le succès a une probabilité de $0{,}3$ et la variable $X$ vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d’échec. Quelles sont les probabilités de $X=1$ et de $X=0$ , respectivement ?

3. Une équipe modélise le résultat incertain d’un tirage au sort par une variable numérique. Quel rôle cette variable joue-t-elle dans le modèle ?

4. Un contrôle classe chaque pièce fabriquée comme conforme ou non conforme. Pourquoi cette expérience peut-elle être modélisée par une épreuve de Bernoulli ?

5. Que représente une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ ?

6. Pour quelle valeur de la probabilité de succès la loi binomiale converge-t-elle le plus rapidement vers une loi normale, toutes choses égales par ailleurs ?

7. Quel rôle joue le paramètre $\lambda$ dans une loi de Poisson ?

8. Une variable uniforme est définie sur l’intervalle $[2,8]$ . Quelle est sa variance ?

9. En quoi le quantile supérieur de niveau α d’une loi du chi carré diffère-t-il du quantile d’ordre α ?

10. Que se passe-t-il avec la loi de Student lorsque son nombre de degrés de liberté augmente sans limite ?

11. Un analyste choisit une loi pour modéliser le nombre de visiteurs arrivant à un site pendant une journée. Quelle propriété de la variable l’aide à décider si une loi discrète convient ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Probabilités totales et partitions

Réplication de l’ADN

Équilibre alimentaire et poids-santé

Distances et lieux géométriques

ISO 14001 et réglementation environnementale

Notions de santé individuelle et collective

Crée tes propres QCM

QCM : Lois de probabilité (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un capteur mesure une durée pouvant prendre n’importe quelle valeur réelle positive. Quel type de loi convient à cette variable aléatoire ?

2. Dans un test, le succès a une probabilité de 0,30{,}30,3 et la variable XXX vaut 111 en cas de succès et 000 en cas d’échec. Quelles sont les probabilités de X=1X=1X=1 et de X=0X=0X=0, respectivement ?

3. Une équipe modélise le résultat incertain d’un tirage au sort par une variable numérique. Quel rôle cette variable joue-t-elle dans le modèle ?

4. Un contrôle classe chaque pièce fabriquée comme conforme ou non conforme. Pourquoi cette expérience peut-elle être modélisée par une épreuve de Bernoulli ?

5. Que représente une loi binomiale B(n,p)\mathcal{B}(n,p)B(n,p) ?

6. Pour quelle valeur de la probabilité de succès la loi binomiale converge-t-elle le plus rapidement vers une loi normale, toutes choses égales par ailleurs ?

7. Quel rôle joue le paramètre λ\lambdaλ dans une loi de Poisson ?

8. Une variable uniforme est définie sur l’intervalle [2,8][2,8][2,8]. Quelle est sa variance ?

9. En quoi le quantile supérieur de niveau α d’une loi du chi carré diffère-t-il du quantile d’ordre α ?

10. Que se passe-t-il avec la loi de Student lorsque son nombre de degrés de liberté augmente sans limite ?

11. Un analyste choisit une loi pour modéliser le nombre de visiteurs arrivant à un site pendant une journée. Quelle propriété de la variable l’aide à décider si une loi discrète convient ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Probabilités totales et partitions

Réplication de l’ADN

Équilibre alimentaire et poids-santé

Distances et lieux géométriques

ISO 14001 et réglementation environnementale

Notions de santé individuelle et collective

Crée tes propres QCM

2. Dans un test, le succès a une probabilité de $0{,}3$ et la variable $X$ vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d’échec. Quelles sont les probabilités de $X=1$ et de $X=0$ , respectivement ?

5. Que représente une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ ?

7. Quel rôle joue le paramètre $\lambda$ dans une loi de Poisson ?

8. Une variable uniforme est définie sur l’intervalle $[2,8]$ . Quelle est sa variance ?