Fiche de révision : Probabilités totales et partitions

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire et événements probabilistes
2. Règles de calcul des probabilités
3. Probabilité conditionnelle
4. Arbres de probabilités
5. Partition de l’univers
6. Partitions à plusieurs évènements
7. Formule des probabilités totales
8. Applications aux arbres pondérés
9. Probabilité du choix du bateau
10. Définition de l’indépendance
11. Indépendance a priori
12. Succession d’évènements indépendants

📖 1. Vocabulaire et événements probabilistes

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers : Ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire.
• Événement : Regroupement particulier d’issues d’une expérience aléatoire.
• Équiprobabilité : Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont la même probabilité.
• Événements incompatibles : Deux événements sont incompatibles lorsque leur intersection est vide.

📝 Points essentiels

• La probabilité de chaque issue est comprise entre 0 et 1, et la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.

• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le composent.

📌 La réunion de deux événements comprend les issues appartenant à au moins l’un d’eux, tandis que leur intersection comprend les issues appartenant aux deux.

📖 2. Règles de calcul des probabilités

★ À maîtriser

📐 Formule - La probabilité de l’événement contraire de A vérifie $p(A)+p(\overline{A})=1$.

📐 Formule - Pour deux événements A et B, la probabilité de leur réunion vérifie $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$.

Compléments

📐 Formule - La probabilité de l’ensemble vide est $p(\varnothing)=0$.

📖 3. Probabilité conditionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Pour deux événements A et B tels que $p(A)\neq 0$, la probabilité conditionnelle de B sachant A est $p_A(B)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}$.

📝 Points essentiels

• Si $p(A)=0{,}60$ et $p(A\cap B)=0{,}40$, alors $p_A(B)=\frac{0{,}40}{0{,}60}=\frac{2}{3}$.

• Si $p(\overline A\cap B)=0{,}30$ et $p(\overline A)=0{,}40$, alors la probabilité de B sachant que A ne se produit pas vaut $\frac{0{,}30}{0{,}40}=\frac{3}{4}$.

📖 4. Arbres de probabilités

★ À maîtriser

📌 Dans un arbre de probabilités, la somme des probabilités portées par les branches issues d’un même nœud vaut 1.

📐 Formule - La probabilité d’une feuille est le produit des probabilités portées par les branches qui y conduisent : $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$.

Compléments

• Si $p(\overline A)=0{,}40$ et $p_{\overline A}(B)=\frac{3}{4}$, alors $p(\overline A\cap B)=0{,}30$.

📖 5. Partition de l’univers

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Une partition de l’univers $\Omega$ est une décomposition en plusieurs événements telle que chaque issue appartienne à un et un seul de ces événements.

★ À maîtriser

📌 Les événements d’une partition sont incompatibles deux à deux et leur réunion est égale à l’univers.

📐 Formule - Pour une partition formée par A et son contraire, tout évènement B vérifie $P(B)=P(B\cap A)+P(B\cap \overline{A})$.

Compléments

• Les événements A, B et C forment une partition de $\Omega$ lorsque chaque issue appartient exactement à l’un de ces trois événements.

• Les évènements A et son contraire forment toujours une partition de l’univers.

💡 Astuce mémo

Un évènement B se découpe en deux morceaux, dans A et dans son contraire.

📖 6. Partitions à plusieurs évènements

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si les évènements $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment une partition de l’univers, alors tout évènement B vérifie $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(B\cap A_i)$.

📖 7. Formule des probabilités totales

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une partition $A_1, A_2, \ldots, A_n$ de l’univers, la formule des probabilités totales est $P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P_{A_i}(B)$.

Compléments

• La formule des probabilités totales s’obtient en remplaçant chaque probabilité d’intersection $P(B\cap A_i)$ par $P(A_i)P_{A_i}(B)$ dans la décomposition de B selon la partition.

📖 8. Applications aux arbres pondérés

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple des écoles de pilotage, les candidats viennent des écoles 1, 2 et 3 dans les proportions de 45 %, 30 % et 25 %, et leurs taux de réussite sont respectivement de 70 %, 60 % et 80 %.

• Dans l’exemple des écoles de pilotage, la probabilité qu’un candidat choisi au hasard réussisse l’examen est 0,695.

• Parmi les candidats ayant réussi l’examen, la probabilité de venir de l’école au meilleur taux de réussite est environ 0,288.

• Dans l’exercice sur la recherche de l’avion, les probabilités que l’hélicoptère retrouve l’appareil sont de 90 % en plaine, 70 % en forêt et 50 % en montagne.

• Dans l’exercice sur la recherche de l’avion, la probabilité que l’hélicoptère retrouve l’appareil est 0,78.

• Dans l’exercice du voyage organisé, 10 % des touristes choisissent l’avion, 60 % le train et les autres le bateau ; les probabilités d’arrivée à l’heure sont de 80 % en avion et de 70 % en train.

• Dans l’exercice du voyage organisé, 68 % des touristes arrivent à l’heure et la probabilité conjointe de choisir le bateau et d’arriver à l’heure est 0,18.

📖 9. Probabilité du choix du bateau

📝 Points essentiels

• Parmi les touristes arrivés en retard, la probabilité qu’un touriste ait choisi le bateau est de 3/8.

📖 10. Définition de l’indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Évènements indépendants : Deux évènements A et B sont indépendants lorsque $p(A\cap B)=p(A)\times p(B).$

📝 Points essentiels

• Si A et B sont indépendants, savoir si A s’est produit ne change pas la probabilité de B : $p_A(B)=p(B).$

• Si A et B sont indépendants, la probabilité de A sachant B est égale à la probabilité de A : $p_B(A)=p(A).$

📖 11. Indépendance a priori

★ À maîtriser

• Pour deux lancers indépendants d’une pièce équilibrée, la probabilité d’obtenir Pile aux deux lancers est $\frac12\times\frac12=\frac14.$

Compléments

• On admet souvent a priori que deux expériences distinctes n’ont pas d’influence l’une sur l’autre, comme les résultats de deux lancers successifs d’une pièce.

📖 12. Succession d’évènements indépendants

★ À maîtriser

📌 Pour des évènements indépendants, la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités ; ainsi, pour A, B et C indépendants, $p(A\cap B\cap C)=p(A)\times p(B)\times p(C).$

Compléments

• Dans l’exemple du départ en vacances, les probabilités que la voiture ne démarre pas, que Choupette soit malade et qu’une scène de ménage éclate sont respectivement de 1/20, 1/4 et 1/6, et ces évènements sont supposés indépendants.

• Dans l’exemple des naissances, chaque grossesse donne un seul enfant, la probabilité d’avoir un garçon ou une fille est de 1/2, et le sexe de chaque enfant est indépendant de celui du précédent.