Fiche de révision : Diviseurs et multiples communs

📋 Plan du Cours

1. PGCD de deux nombres
2. PGCD de trois nombres
3. Décomposition en facteurs premiers
4. Critères de divisibilité
5. PPCM de deux nombres
6. Applications du PGCD et du PPCM

📖 1. PGCD de deux nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le plus grand diviseur commun de deux nombres a et b se note PGCD(a ; b).

★ À maîtriser

📌 Si deux nombres sont multiples l’un de l’autre, leur PGCD est le plus petit des deux nombres.

📌 Si deux nombres sont premiers entre eux, leur PGCD vaut 1.

Compléments

• PGCD(12 ; 16) = 4.

📌 Le PGCD de deux nombres consécutifs vaut toujours 1.

💡 Astuce mémo

Multiples l’un de l’autre : PGCD petit ; premiers entre eux : PGCD égal à 1

📖 2. PGCD de trois nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD de trois nombres : Le plus grand diviseur commun de trois nombres a, b et c se note PGCD(a ; b ; c).

📝 Points essentiels

📌 Si un nombre est diviseur des deux autres, le PGCD des trois nombres est ce plus petit nombre.

📖 3. Décomposition en facteurs premiers

★ À maîtriser

📌 Pour obtenir le PGCD à partir des décompositions en facteurs premiers, on multiplie les facteurs premiers communs en leur attribuant leur plus petit exposant.

Compléments

• Comme 180 = 2² × 3² × 5 et 120 = 2³ × 3 × 5, leur PGCD vaut 2² × 3 × 5 = 60.

• Comme 252 = 2² × 3² × 7, 162 = 2 × 3⁴ et 216 = 2³ × 3³, PGCD(252 ; 162 ; 216) = 2 × 3².

📖 4. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

• Un nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est pair, c’est-à-dire 0, 2, 4, 6 ou 8.

• Un nombre est divisible par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres est divisible respectivement par 3 ou par 9.

• Si un nombre est divisible par deux nombres premiers entre eux, il est divisible par leur produit.

Compléments

• Un nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5, et divisible par 10 si son dernier chiffre est 0.

• Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.

• Un nombre est divisible par 25 si ses deux derniers chiffres sont 00, 25, 50 ou 75, et par 100 si ses deux derniers chiffres sont 00.

• Un nombre est divisible par 8 si ses trois derniers chiffres forment un nombre divisible par 8, et par 125 s’ils forment un nombre divisible par 125.

📖 5. PPCM de deux nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• PPCM : Le plus petit multiple commun non nul de deux nombres a et b se note PPCM(a ; b).

★ À maîtriser

• Si deux nombres sont multiples l’un de l’autre, leur PPCM est le plus grand des deux nombres.

• Si deux nombres sont premiers entre eux, leur PPCM est leur produit.

• Pour obtenir le PPCM à partir des décompositions en facteurs premiers, on multiplie tous les facteurs premiers présents en leur attribuant leur plus grand exposant.

Compléments

• PPCM(6 ; 9) = 18.

💡 Astuce mémo

Multiples l’un de l’autre : PPCM grand ; premiers entre eux : PPCM égal au produit

📖 6. Applications du PGCD et du PPCM

★ À maîtriser

• Pour répartir 132 filles et 84 garçons en groupes mixtes identiques aussi nombreux que possible, on calcule PGCD(132 ; 84) = 12, puis on divise chaque effectif par 12.

• Pour déterminer quand deux événements périodiques se reproduisent simultanément, on calcule le PPCM de leurs intervalles.

Compléments

• La répartition de 132 filles et 84 garçons en 12 groupes donne 11 filles et 7 garçons par groupe.

• Des SMS envoyés toutes les 36 et 45 minutes à partir de 8 h coïncident de nouveau après 180 minutes, soit à 11 h.

• Pour former une affiche carrée avec des images de 8 cm sur 14 cm bord à bord, on calcule PPCM(8 ; 14) = 56, donc le côté de la plus petite affiche est de 56 cm.

💡 Astuce mémo

Répartir en groupes égaux : PGCD ; synchroniser des intervalles : PPCM