Fiche de révision : Trigonométrie dans le triangle rectangle

📋 Plan du Cours

1. Rapports trigonométriques dans un triangle
2. Identités trigonométriques fondamentales
3. Triangles inscrits dans un cercle
4. Théorème de Thalès et parallèles
5. Hauteur issue de l’angle droit
6. Calculs dans les triangles rectangles

📖 1. Rapports trigonométriques dans un triangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Sinus d’un angle aigu : Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est le rapport de la longueur du côté opposé à celle de l’hypoténuse.
• Cosinus d’un angle aigu : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le rapport de la longueur du côté adjacent à celle de l’hypoténuse.
• Tangente d’un angle aigu : Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est le rapport de la longueur du côté opposé à celle du côté adjacent.

📝 Points essentiels

• Les rapports trigonométriques d’un angle aigu peuvent être exprimés à partir des longueurs des côtés d’un triangle rectangle contenant cet angle.

📖 2. Identités trigonométriques fondamentales

★ À maîtriser

📐 Formule - $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

📐 Formule - $\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}-1$.

Compléments

📐 Formule - $(\cos\alpha+\sin\alpha)(\cos\alpha-\sin\alpha)=2\cos^2\alpha-1$.

• Pour un angle aigu α, si sin α = √5/3, alors cos α = 2/3 et tan α = √5/2.

📖 3. Triangles inscrits dans un cercle

★ À maîtriser

📌 Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un de ses côtés est un diamètre, alors le triangle est rectangle au sommet opposé à ce diamètre.

Compléments

• Dans un cercle de diamètre 8 cm, si AC = 4,8 cm et A est sur le cercle, alors AB = 6,4 cm.

• Dans un cercle de centre I et de rayon 4 cm, si A et B sont diamétralement opposés et AM = 4 cm pour M sur le cercle, alors le triangle AMI est équilatéral.

📖 4. Théorème de Thalès et parallèles

📝 Points essentiels

📌 Dans le triangle ABC de l’exercice, avec AB = 8 cm et AC = 4 cm, la parallèle à BE passant par M, où CM = 4,2 cm sur CE = 6 cm, coupe BC en N et permet d’appliquer le théorème de Thalès.

• Dans la configuration où BC = 8 cm, AC = 4,8 cm et la perpendiculaire en C à (BC) coupe (AB) en E, la longueur EC vaut 6 cm.

• Lorsque deux triangles sont formés par des droites sécantes coupées par des parallèles, les côtés correspondants sont proportionnels.

📖 5. Hauteur issue de l’angle droit

🔑 Notions clés & Définitions

• Hauteur d’un triangle : Dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle rectangle ABC en A, si H est le projeté orthogonal de A sur BC, alors AH est la hauteur issue de A.

📐 Formule - Dans un triangle rectangle ABC en A, avec H le projeté orthogonal de A sur BC, $AH=\frac{AB\times AC}{BC}$.

📐 Formule - Dans un triangle rectangle AMB en M, si H est le projeté orthogonal de M sur AB, alors $BH=\frac{BM^2}{AB}$.

📖 6. Calculs dans les triangles rectangles

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un triangle rectangle ABC en A, $BC^2=AB^2+AC^2$.

Compléments

• Si un triangle rectangle en A a AB = 8 cm et AC = 4 cm, alors BC = 4√5 cm.

• Dans un triangle rectangle ABC en A avec B = 30° et C = 60°, si R est sur la droite AC au-delà de C et CR = 6 cm, ces données ne suffisent pas à déterminer AC et BC ; on sait seulement que BC = 2AC.