Fiche de révision : Divisibilité et congruences

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres et divisibilité
2. Propriétés de la divisibilité
3. Division euclidienne
4. Combinaisons linéaires entières
5. Congruences modulo m
6. Applications des congruences

📖 1. Ensembles de nombres et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Un entier relatif a divise un entier relatif b, noté $a\mid b$, s’il existe un entier relatif k tel que $b=ka$.
• Ensemble des entiers naturels : l’ensemble $\mathbb{N}=\{0{,}1{,}2{,}3,\ldots\}$
• Ensemble des entiers relatifs : l’ensemble $\mathbb{Z}=\{0{,}1,-1{,}2,-2,\ldots\}$

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres vérifient les inclusions strictes $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Propriétés de la divisibilité

★ À maîtriser

📌 Pour tout entier relatif a, on a $1\mid a$, $a\mid a$, $-1\mid a$ et $-a\mid a$.

📌 Si $a\mid b$ et $b\mid c$, alors $a\mid c$.

Compléments

📌 Tout entier relatif non nul est un diviseur de 0.

💡 Astuce mémo

a∣b et b∣c → a∣c

📖 3. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Pour des entiers naturels a et b avec b non nul, il existe un unique couple d’entiers naturels (q,r) tel que $a=bq+r$ avec $0\le r<b$.
• Division euclidienne relative : Pour des entiers relatifs a et b avec b non nul, il existe un unique couple d’entiers (q,r) tel que $a=bq+r$ avec $0\le r<|b|$.

📝 Points essentiels

• La division euclidienne de 36 par −5 est $36=(-5)\times(-7)+1$, avec $0\le1<|-5|$.

💡 Astuce mémo

Dividende = diviseur × quotient + reste

📖 4. Combinaisons linéaires entières

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire entière : Une combinaison linéaire entière de réels x₁,…,xₙ est un nombre de la forme $y=a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n$, où les coefficients a₁,…,aₙ sont des entiers relatifs.

★ À maîtriser

📌 Si un entier a divise b et c, alors a divise toute combinaison linéaire entière de b et c.

Compléments

• Le nombre 10 est une combinaison linéaire entière de 1, 4 et 3, car $10=4\times0+3\times2+1\times4$.

• Le nombre 7 est une combinaison linéaire entière de 11 et 13, car $7=3\times11-2\times13$.

💡 Astuce mémo

Des coefficients entiers construisent une combinaison de nombres donnés

📖 5. Congruences modulo m

🔑 Notions clés & Définitions

• Congruence modulo m : Pour m entier naturel non nul, deux entiers a et b sont congrus modulo m, noté $a\equiv b\ [m]$, s’ils ont le même reste dans leur division euclidienne par m.

★ À maîtriser

📌 Si a divise b et c, alors a divise b+c et b−c.

Compléments

• On a $10\equiv16\ [3]$, car 10 et 16 ont tous deux le reste 1 dans leur division euclidienne par 3.

💡 Astuce mémo

Même reste modulo m, nombres différents dans Z

📖 6. Applications des congruences

★ À maîtriser

• Le reste de la division euclidienne de $2^{34}$ par 7 est 4, car $2^{34}\equiv4\ [7]$.

Compléments

• Dans les calculs modulo 7, on obtient $2^3\equiv1\ [7]$, $2^4\equiv4\ [7]$, $2^8\equiv1\ [7]$ et $2^{33}\equiv2\ [7]$.

• Pour n entier naturel non nul, on peut déterminer des restes modulo m+1 en réécrivant une expression sous la forme d’un multiple de m+1 augmenté d’un reste compris entre 0 et m.

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles de nombres