Divisibilité et congruences

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres et divisibilité
2. Propriétés de la divisibilité
3. Division euclidienne
4. Combinaisons linéaires entières
5. Congruences modulo m
6. Applications des congruences

📖 1. Ensembles de nombres et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Un entier relatif a divise un entier relatif b, noté $a\mid b$, s’il existe un entier relatif k tel que $b=ka$.
• Ensemble des entiers naturels : l’ensemble $\mathbb{N}=\{0{,}1{,}2{,}3,\ldots\}$
• Ensemble des entiers relatifs : l’ensemble $\mathbb{Z}=\{0{,}1,-1{,}2,-2,\ldots\}$

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres vérifient les inclusions strictes $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Propriétés de la divisibilité

★ À maîtriser

📌 Pour tout entier relatif a, on a $1\mid a$, $a\mid a$, $-1\mid a$ et $-a\mid a$.

📌 Si $a\mid b$ et $b\mid c$, alors $a\mid c$.

Compléments

📌 Tout entier relatif non nul est un diviseur de 0.

💡 Astuce mémo

a∣b et b∣c → a∣c

📖 3. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions