Fiche de révision : Divisibilité et nombres premiers

📋 Plan du Cours

1. Multiples et diviseurs
2. Critères de divisibilité
3. Carrés parfaits
4. Nombres premiers et décomposition
5. Simplification des fractions

📖 1. Multiples et diviseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Si le reste de la division euclidienne de l’entier positif a par l’entier positif non nul b est zéro, alors b est un diviseur de a, b divise a, a est un multiple de b et a est divisible par b.

★ À maîtriser

• Tout entier positif possède au moins deux diviseurs, 1 et lui-même, ainsi qu’une infinité de multiples issus de sa table de multiplication.

Compléments

• Les multiples de 23 inférieurs à 100 sont:

  • 23
  • 46
  • 69
  • 92

• Les diviseurs positifs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36, soit 9 diviseurs.

💡 Astuce mémo

Diviseur : il partage exactement ; multiple : il est obtenu par multiplication.

📖 2. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

• Un entier est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, et par 10 s’il se termine par 0.

• Un entier est divisible par 3 ou par 9 si la somme de ses chiffres est respectivement un multiple de 3 ou un multiple de 9.

• Un entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.

Compléments

• Le nombre 7428 est divisible par 2, 3, 4 et 6, mais il n’est divisible ni par 5, ni par 9, ni par 10.

💡 Astuce mémo

2-5-10 regardent la fin ; 3-9 additionnent les chiffres ; 4 regarde les deux derniers.

📖 3. Carrés parfaits

📝 Points essentiels

• Les carrés parfaits de 1 à 15 sont 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 et 225.

💡 Astuce mémo

Les carrés de 1 à 15 progressent de 1, 4, 9 jusqu’à 225.

📖 4. Nombres premiers et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : un nombre qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même

★ À maîtriser

• 🔄 Pour décomposer 126 en facteurs premiers, on effectue les divisions suivantes:
  1. 126 ÷ 2 = 63
  2. 63 ÷ 3 = 21
  3. 21 ÷ 3 = 7
  4. 7 ÷ 7 = 1

Compléments

• Les nombres premiers inférieurs à 100 cités dans le cours sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 et 89.

💡 Astuce mémo

On divise successivement par des nombres premiers jusqu’à obtenir 1.

📖 5. Simplification des fractions

📝 Points essentiels

• 🔄 Pour rendre 168/462 irréductible, on:
  1. décompose 168 en 2 × 2 × 2 × 3 × 7
  2. décompose 462 en 2 × 3 × 7 × 11
  3. simplifie les facteurs communs 2, 3 et 7
  4. obtient 4/11

💡 Astuce mémo

Décomposition en facteurs premiers → facteurs communs supprimés → fraction irréductible.

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité