Fiche de révision : Divisibilité et nombres relatifs

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire de la divisibilité
2. Critères de divisibilité
3. Nombres premiers
4. Décomposition et fractions
5. Problèmes de partage
6. Calculs avec les relatifs

📖 1. Vocabulaire de la divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Entier qui partage exactement un autre entier, comme 7 et 8 qui partagent 56.
• Multiple : Entier obtenu en multipliant un autre entier par un entier, comme 56 obtenu à partir de 7 et de 8.

💡 Astuce mémo

Diviseur : partage ; multiple : résultat

📖 2. Critères de divisibilité

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair, par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, et par 10 si son chiffre des unités est 0.

📌 Un entier est divisible par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres est respectivement divisible par 3 ou par 9.

Compléments

• 3 738 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 2 et par 3 car la somme de ses chiffres vaut 21, qui est un multiple de 3.

💡 Astuce mémo

2-5-10 par le chiffre final, 3-9 par la somme

📖 3. Nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier naturel qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

• Les nombres 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29 sont des nombres premiers, et il existe une infinité de nombres premiers.

📌 Pour déterminer si un nombre est premier, on vérifie s’il est divisible par un nombre inférieur ou égal à 10, notamment 2, 3, 5 ou 7 ; s’il n’a aucun de ces diviseurs, il est premier dans la méthode présentée.

💡 Astuce mémo

Premier = seulement 1 et lui-même ; 1 n’est pas premier

📖 4. Décomposition et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : Chercher un produit de facteurs premiers égal à ce nombre.

★ À maîtriser

• Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, on le divise successivement par des nombres premiers jusqu’à obtenir 1, puis on écrit le produit de tous les facteurs obtenus.

• Pour simplifier une fraction grâce aux facteurs premiers, on décompose le numérateur et le dénominateur, puis on simplifie les facteurs communs.

Compléments

• La décomposition de 153 en facteurs premiers est $153=3\times3\times17$.

💡 Astuce mémo

Diviser par des nombres premiers → obtenir un produit → simplifier

📖 5. Problèmes de partage

★ À maîtriser

• Pour réaliser le plus grand nombre de groupes ou de paquets identiques sans reste, on recherche le plus grand diviseur commun des quantités disponibles.

• Pour 434 roses et 620 tulipes, le plus grand diviseur commun est 62, ce qui permet de faire 62 bouquets contenant chacun 7 roses et 10 tulipes.

• Pour 2 622 œufs et 2 530 poissons, le plus grand diviseur commun est 46, ce qui permet de réaliser 46 paquets contenant chacun 57 œufs et 55 poissons.

Compléments

📌 Un nombre de groupes est possible seulement s’il est un diviseur de chacune des quantités à répartir, comme 2 groupes pour 154 garçons et 182 filles, mais pas 11 groupes car 11 ne divise pas 182.

💡 Astuce mémo

Diviseur commun → partage identique sans reste

📖 6. Calculs avec les relatifs

★ À maîtriser

📌 Soustraire un nombre revient à additionner son opposé.

• Pour calculer une somme de nombres relatifs, on simplifie les signes, on additionne les nombres positifs, on additionne les nombres négatifs, puis on calcule la somme obtenue.

• Pour additionner des nombres relatifs de même signe, on garde le signe commun et on additionne les parties numériques ; pour des signes différents, on soustrait les parties numériques et on garde le signe du nombre ayant la plus grande partie numérique.

• Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif, tandis que le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.

• Dans un produit de plusieurs nombres relatifs, un nombre pair de facteurs négatifs donne un résultat positif et un nombre impair de facteurs négatifs donne un résultat négatif.

Compléments

• Le produit $(-5)\times(-2)\times(+7)\times(-11)$ est négatif car il contient trois facteurs négatifs, tandis que $(-6)\times(-3)\times(+15)$ est positif car il contient deux facteurs négatifs.

💡 Astuce mémo

Même signe : positif pour le produit ; signes contraires : négatif

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité