QCM : Échantillonnage et approximations normales — 11 questions

Question 1

1. Pour une variable de Bernoulli $X_i$ associée à un individu, que représentent les valeurs 1 et 0 ?

Le succès avec probabilité

p

et l’échec avec probabilité

1-p

La fréquence avec probabilité

p

et le nombre de succès avec probabilité

1-p

Le nombre de succès avec probabilité

p

et la fréquence avec probabilité

1-p

Le succès avec probabilité

1-p

et l’échec avec probabilité

p

Explication

Une variable de Bernoulli prend la valeur 1 lorsqu’un succès se produit, avec probabilité $p$ , et la valeur 0 en cas d’échec, avec probabilité $1-p$ . La variable $S_n$ décrit plutôt le total des succès dans l’échantillon, et non un individu particulier.

Answer

Le succès avec probabilité $$p$$ et l’échec avec probabilité $$1-p$$

Question 2

2. Qu'est-ce qu'une variable de Bernoulli ?

Une variable qui mesure la différence entre deux proportions.

Une variable qui suit une loi normale centrée réduite.

Une variable qui représente le nombre de succès dans un échantillon.

Une variable aléatoire qui vaut 1 avec une probabilité p et 0 avec une probabilité 1-p.

Explication

Une variable de Bernoulli est une variable aléatoire qui ne peut prendre que deux valeurs, 1 ou 0, avec des probabilités respectives p et 1-p. La réponse incorrecte évoque une loi normale, qui est différente, et les autres options concernent des concepts liés mais distincts.

Answer

Une variable aléatoire qui vaut 1 avec une probabilité p et 0 avec une probabilité 1-p.

Question 3

3. Dans quelle situation l’indépendance des résultats individuels est-elle justifiée lors d’un échantillonnage sans remise ?

Lorsque les résultats successifs sont déterminés par le premier tirage

Lorsque l’échantillon contient au moins dix fois la taille de la population

Lorsque la population est au moins dix fois plus grande que l’échantillon

Lorsque chaque individu est sélectionné avec une probabilité différente

Explication

Sans remise, on considère l’indépendance comme assurée lorsque la population est au moins dix fois plus grande que l’échantillon, car l’effet d’un prélèvement devient alors négligeable. Un échantillon très grand par rapport à la population renforcerait au contraire la dépendance entre les tirages.

Answer

Lorsque la population est au moins dix fois plus grande que l’échantillon

Question 4

4. Selon le modèle de Bernoulli, quelle valeur une variable aléatoire prend-elle en cas de succès ?

0

1

1-p

p

Explication

Une variable de Bernoulli vaut 1 en cas de succès, avec une probabilité p. La réponse 0 correspond à l’échec, ce qui n’est pas la question posée.

Answer

$$S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i$$, qui suit une loi $$\mathcal{B}(n,p)$$

Answer

Modéliser un succès ou un échec avec une probabilité p

Answer

$$E(S_n)=np$$ et $$V(S_n)=np(1-p)$$

Answer

Au 19ème siècle, à la fin des années 1800.

Answer

La centrage-réduction transforme une variable normale en une variable standardisée avec moyenne 0 et variance 1, tandis que l'utilisation directe de la loi normale ne modifie pas la variable.

Answer

Carl Friedrich Gauss

Answer

L'approximation de la loi binomiale par une loi normale lorsque n est grand et que p n'est pas trop proche de 0 ou 1.

Question 5

5. Quelle variable représente le nombre total de succès obtenus dans un échantillon de taille $n$ ?

S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i

, qui suit une loi

\mathcal{B}(n,p)

F_n=\frac{S_n}{n}

, qui suit une loi

\mathcal{B}(p)

S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i

, qui suit une loi

\mathcal{B}(p)

F_n=\frac{S_n}{n}

, qui suit une loi

\mathcal{B}(n,p)

Explication

Le total des succès est la somme des variables individuelles, soit $S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i$ , et il suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ . La variable $F_n$ est une proportion, tandis que $\mathcal{B}(p)$ correspond à la loi de Bernoulli d’une observation individuelle.

Question 6

6. Quelle est la principale fonction de la variable de Bernoulli dans un modèle probabiliste ?

Mesurer la dispersion d'une donnée numérique

Modéliser un succès ou un échec avec une probabilité p

Définir la variance d'une variable aléatoire continue

Calculer la moyenne d'une population

Explication

La variable de Bernoulli sert à modéliser un événement binaire, succès ou échec, avec une probabilité p. Elle ne concerne pas la moyenne, la variance ou la dispersion directement, mais sert de base pour des modèles binomiaux.

Question 7

7. Pour $S_n\sim\mathcal{B}(n,p)$ , quelles expressions donnent respectivement son espérance et sa variance ?

E(S_n)=np

et

V(S_n)=np(1-p)

E(S_n)=np(1-p)

et

V(S_n)=np

E(S_n)=p

et

V(S_n)=\frac{p(1-p)}{n}

E(S_n)=\frac{np}{n}

et

V(S_n)=\frac{np(1-p)}{n}

Explication

Pour une variable binomiale comptant les succès, l’espérance est $np$ et la variance est $np(1-p)$ . L’expression $p(1-p)/n$ concerne la variance de la fréquence empirique $F_n$ , et non celle du nombre total de succès.

Question 8

8. Quand le théorème central limite a-t-il été formulé pour la première fois ?

Au début du 20ème siècle, vers 1930.

Au 19ème siècle, à la fin des années 1800.

Au milieu du 20ème siècle, dans les années 1950.

Au début du 21ème siècle, dans les années 2000.

Explication

Le théorème central limite a été formulé pour la première fois par Abraham de Moivre à la fin du 18ème siècle, mais sa version moderne a été développée au début du 20ème siècle, notamment par Laplace et Lyapunov. La réponse la plus précise ici correspond à la fin du 19ème siècle, vers 1870-1890, période clé pour ses développements fondamentaux.

Question 9

9. En quoi la méthode de centrage-réduction diffère-t-elle de l'utilisation directe de la loi normale pour approximer une variable aléatoire ?

La centrage-réduction ne concerne que les variables discrètes, alors que la loi normale ne peut s'appliquer qu'aux variables continues.

La centrage-réduction permet d'obtenir une approximation exacte, alors que la loi normale ne donne qu'une approximation.

La centrage-réduction est spécifique aux variables binomiales, alors que la loi normale s'applique uniquement aux variables continues.

La centrage-réduction transforme une variable normale en une variable standardisée avec moyenne 0 et variance 1, tandis que l'utilisation directe de la loi normale ne modifie pas la variable.

Explication

La transformation de centrage-réduction standardise une variable normale en soustrayant sa moyenne et en divisant par son écart-type, ce qui n'est pas le cas de l'utilisation directe de la loi normale. La méthode est essentielle pour utiliser la table de la loi normale centrée réduite.

Question 10

10. Qui est crédité de la formulation de la loi normale standard utilisée dans la méthode de centrage-réduction ?

André-Marie Ampère

Pierre-Simon Laplace

Niels Bohr

Carl Friedrich Gauss

Explication

Carl Friedrich Gauss est crédité d'avoir formulé la loi normale, qui est fondamentale dans la méthode de centrage-réduction. Laplace a également contribué à la théorie des probabilités, mais pas spécifiquement à la loi normale standard.

Question 11

11. Quelles sont les causes principales qui justifient l'utilisation du quantile normal pour dimensionner une capacité à partir d'une probabilité cible ?

La réduction de la dispersion des variables par centrage et réduction.

L'approximation de la loi binomiale par une loi normale lorsque n est grand et que p n'est pas trop proche de 0 ou 1.

La nécessité de simplifier le calcul de la capacité en utilisant des tables de quantiles de la loi normale.

L'indépendance des échantillons et la vérification des conditions du théorème central limite.

Explication

L'utilisation du quantile normal dans le dimensionnement repose principalement sur l'approximation de la loi binomiale par une loi normale lorsque n est suffisamment grand et que p n'est pas trop proche de 0 ou 1. La vérification des conditions du théorème central limite est essentielle pour assurer la validité de cette approximation, mais la cause principale reste la capacité à modéliser la distribution par une loi normale.

QCM : Échantillonnage et approximations normales — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour une variable de Bernoulli $X_i$ associée à un individu, que représentent les valeurs 1 et 0 ?

2. Qu'est-ce qu'une variable de Bernoulli ?

3. Dans quelle situation l’indépendance des résultats individuels est-elle justifiée lors d’un échantillonnage sans remise ?

4. Selon le modèle de Bernoulli, quelle valeur une variable aléatoire prend-elle en cas de succès ?

5. Quelle variable représente le nombre total de succès obtenus dans un échantillon de taille $n$ ?

6. Quelle est la principale fonction de la variable de Bernoulli dans un modèle probabiliste ?

7. Pour $S_n\sim\mathcal{B}(n,p)$ , quelles expressions donnent respectivement son espérance et sa variance ?

8. Quand le théorème central limite a-t-il été formulé pour la première fois ?

9. En quoi la méthode de centrage-réduction diffère-t-elle de l'utilisation directe de la loi normale pour approximer une variable aléatoire ?

10. Qui est crédité de la formulation de la loi normale standard utilisée dans la méthode de centrage-réduction ?

11. Quelles sont les causes principales qui justifient l'utilisation du quantile normal pour dimensionner une capacité à partir d'une probabilité cible ?

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Questions et réponses du QCM

1. Pour une variable de Bernoulli XiX_iXi​ associée à un individu, que représentent les valeurs 1 et 0 ?

2. Qu'est-ce qu'une variable de Bernoulli ?

3. Dans quelle situation l’indépendance des résultats individuels est-elle justifiée lors d’un échantillonnage sans remise ?

4. Selon le modèle de Bernoulli, quelle valeur une variable aléatoire prend-elle en cas de succès ?

5. Quelle variable représente le nombre total de succès obtenus dans un échantillon de taille nnn ?

6. Quelle est la principale fonction de la variable de Bernoulli dans un modèle probabiliste ?

7. Pour Sn∼B(n,p)S_n\sim\mathcal{B}(n,p)Sn​∼B(n,p), quelles expressions donnent respectivement son espérance et sa variance ?

8. Quand le théorème central limite a-t-il été formulé pour la première fois ?

9. En quoi la méthode de centrage-réduction diffère-t-elle de l'utilisation directe de la loi normale pour approximer une variable aléatoire ?

10. Qui est crédité de la formulation de la loi normale standard utilisée dans la méthode de centrage-réduction ?

11. Quelles sont les causes principales qui justifient l'utilisation du quantile normal pour dimensionner une capacité à partir d'une probabilité cible ?

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5. Quelle variable représente le nombre total de succès obtenus dans un échantillon de taille $n$ ?

7. Pour $S_n\sim\mathcal{B}(n,p)$ , quelles expressions donnent respectivement son espérance et sa variance ?